正五十四角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/10 21:53 UTC 版)
正五十四角形においては、中心角と外角は6.666666…°で、内角は173.333333…°となる。一辺の長さが a の正五十四角形の面積 S は S = 27 2 a 2 cot π 54 a 2 {\displaystyle S={\frac {27}{2}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{54}}a^{2}} 関係式 以下のようにα、β、γを定義すると α = 2 cos 2 π 54 ⋅ 2 cos 34 π 54 ⋅ 2 cos 38 π 54 β = 2 cos 10 π 54 ⋅ 2 cos 46 π 54 ⋅ 2 cos 26 π 54 γ = 2 cos 50 π 54 ⋅ 2 cos 14 π 54 ⋅ 2 cos 22 π 54 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{54}}\\&\beta =2\cos {\frac {10\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {26\pi }{54}}\\&\gamma =2\cos {\frac {50\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {14\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {22\pi }{54}}\\\end{aligned}}} 三次方程式の係数を求めると α + β + γ = 0 α β + β γ + γ α = − 3 α β γ = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta +\gamma =0\\&\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =-3\\&\alpha \beta \gamma =1\\\end{aligned}}} 三次方程式は x 3 − 3 x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-3x-1=0} 三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると α = 2 cos ( 1 3 arccos 1 2 ) = 1 2 + i 3 2 3 + 1 2 − i 3 2 3 = − ω 2 3 + − ω 3 {\displaystyle \alpha =2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {1}{2}}\right)={\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}}}={\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}+{\sqrt[{3}]{-\omega }}} 三次方程式の係数を求めると 2 cos 2 π 54 + 2 cos 34 π 54 + 2 cos 38 π 54 = 0 2 cos 2 π 54 ⋅ 2 cos 34 π 54 + 2 cos 34 π 54 ⋅ 2 cos 38 π 54 + 2 cos 38 π 54 ⋅ 2 cos 2 π 54 = − 3 2 cos 2 π 54 ⋅ 2 cos 34 π 54 ⋅ 2 cos 38 π 54 = α {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{54}}+2\cos {\frac {34\pi }{54}}+2\cos {\frac {38\pi }{54}}=0\\&2\cos {\frac {2\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{54}}+2\cos {\frac {34\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{54}}+2\cos {\frac {38\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{54}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {34\pi }{54}}\cdot 2\cos {\frac {38\pi }{54}}=\alpha \\\end{aligned}}} 三次方程式は u 3 − 3 u − α = 0 {\displaystyle u^{3}-3u-\alpha =0} 三角関数、逆三角関数を用いた解を求め、立方根を使った解を求めると u 1 = 2 cos ( 1 3 arccos α 2 ) = − ω 2 3 3 + − ω 3 3 {\displaystyle u_{1}=2\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos {\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega }}}} よって cos 2 π 54 = − ω 2 3 3 + − ω 3 3 2 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{54}}={\frac {{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega ^{2}}}}+{\sqrt[{3}]{\sqrt[{3}]{-\omega }}}}{2}}}
※この「正五十四角形」の解説は、「五十四角形」の解説の一部です。
「正五十四角形」を含む「五十四角形」の記事については、「五十四角形」の概要を参照ください。
- 正五十四角形のページへのリンク
