正五十角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/01 11:38 UTC 版)
正五十角形においては、中心角と外角は7.2°で、内角は172.8°となる。一辺の長さが a の正五十角形の面積 S は S = 50 4 a 2 cot π 50 ≃ 198.68181 a 2 {\displaystyle S={\frac {50}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{50}}\simeq 198.68181a^{2}} cos ( 2 π / 50 ) {\displaystyle \cos(2\pi /50)} を冪根で表すと cos 2 π 50 = cos π 25 = 1 2 2 + 2 cos 2 π 25 = 1 2 2 + 5 − 1 4 + 10 + 2 5 4 i 5 + 5 − 1 4 − 10 + 2 5 4 i 5 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{50}}=&\cos {\frac {\pi }{25}}\\=&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2+2\cos {\frac {2\pi }{25}}}}\\=&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt[{5}]{{\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}+{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i}}+{\sqrt[{5}]{{\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}-{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i}}}}\end{aligned}}} 別の表し方として cos 2 π 50 = cos π 25 = 1 2 ( cos π 5 + i ⋅ sin π 5 5 + cos π 5 − i ⋅ sin π 5 5 ) = 1 2 ( cos 2 π 10 + i ⋅ sin 2 π 10 5 + cos 2 π 10 − i ⋅ sin 2 π 10 5 ) = 1 2 ( 5 + 1 4 + i ⋅ 10 − 2 5 4 5 + 5 + 1 4 − i ⋅ 10 − 2 5 4 5 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{50}}=&\cos {\frac {\pi }{25}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{5}]{\cos {\frac {\pi }{5}}+i\cdot \sin {\frac {\pi }{5}}}}+{\sqrt[{5}]{\cos {\frac {\pi }{5}}-i\cdot \sin {\frac {\pi }{5}}}}\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{5}]{\cos {\frac {2\pi }{10}}+i\cdot \sin {\frac {2\pi }{10}}}}+{\sqrt[{5}]{\cos {\frac {2\pi }{10}}-i\cdot \sin {\frac {2\pi }{10}}}}\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{5}]{{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+i\cdot {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}}+{\sqrt[{5}]{{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}-i\cdot {\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}}\right)\\\end{aligned}}}
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