楕円関数の虚数変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/12 14:17 UTC 版)
「ヤコビの虚数変換式」の記事における「楕円関数の虚数変換」の解説
ヤコビの楕円関数はテータ関数の比により表される。楕円関数の周期を K , i K ′ {\displaystyle K,iK'} とすると τ = i K ′ K {\displaystyle \tau ={\frac {iK'}{K}}} k = ( ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 3 ( 0 , τ ) ) 2 {\displaystyle k=\left({\frac {\vartheta _{2}(0,\tau )}{\vartheta _{3}(0,\tau )}}\right)^{2}} sn ( u , k ) = ϑ 3 ( 0 , τ ) ϑ 1 ( u / 2 K , τ ) ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( u / 2 K , τ ) {\displaystyle \operatorname {sn} (u,k)={\frac {\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{1}(u/2K,\tau )}{\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(u/2K,\tau )}}} cn ( u , k ) = ϑ 4 ( 0 , τ ) ϑ 2 ( u / 2 K , τ ) ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( u / 2 K , τ ) {\displaystyle \operatorname {cn} (u,k)={\frac {\vartheta _{4}(0,\tau )\vartheta _{2}(u/2K,\tau )}{\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(u/2K,\tau )}}} テータ関数の虚数変換式により τ ′ = − 1 τ = i K K ′ {\displaystyle \tau '=-{\frac {1}{\tau }}={\frac {iK}{K'}}} k ′ = ( ϑ 2 ( 0 , τ ′ ) ϑ 3 ( 0 , τ ′ ) ) 2 {\displaystyle k'=\left({\frac {\vartheta _{2}(0,\tau ')}{\vartheta _{3}(0,\tau ')}}\right)^{2}} sn ( i u , k ) = ϑ 3 ( 0 , τ ) ϑ 1 ( i u / 2 K , τ ) ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( i u / 2 K , τ ) = i ϑ 3 ( 0 , τ ′ ) ϑ 1 ( u / 2 K ′ , τ ′ ) ϑ 4 ( 0 , τ ′ ) ϑ 2 ( u / 2 K ′ , τ ′ ) = i sn ( u , k ′ ) cn ( u , k ′ ) {\displaystyle \operatorname {sn} (iu,k)={\frac {\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{1}(iu/2K,\tau )}{\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(iu/2K,\tau )}}={\frac {i\vartheta _{3}(0,\tau ')\vartheta _{1}(u/2K',\tau ')}{\vartheta _{4}(0,\tau ')\vartheta _{2}(u/2K',\tau ')}}=i{\frac {\operatorname {sn} (u,k')}{\operatorname {cn} (u,k')}}} cn ( i u , k ) = ϑ 4 ( 0 , τ ) ϑ 2 ( i u / 2 K , τ ) ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( i u / 2 K , τ ) = ϑ 2 ( 0 , τ ′ ) ϑ 4 ( u / 2 K ′ , τ ′ ) ϑ 4 ( 0 , τ ′ ) ϑ 2 ( u / 2 K ′ , τ ′ ) = 1 cn ( u , k ′ ) {\displaystyle \operatorname {cn} (iu,k)={\frac {\vartheta _{4}(0,\tau )\vartheta _{2}(iu/2K,\tau )}{\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(iu/2K,\tau )}}={\frac {\vartheta _{2}(0,\tau ')\vartheta _{4}(u/2K',\tau ')}{\vartheta _{4}(0,\tau ')\vartheta _{2}(u/2K',\tau ')}}={\frac {1}{\operatorname {cn} (u,k')}}} となり、楕円関数の虚数変数を得る。
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