楕円関数のランデン変換
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/09/19 10:13 UTC 版)
「ランデン変換」の記事における「楕円関数のランデン変換」の解説
次の恒等式を楕円関数の上昇ランデン変換という。 sn ( u , k ) = 2 1 + k sn ( 1 + k 2 u , 2 k 1 + k ) cn ( 1 + k 2 u , 2 k 1 + k ) dn ( 1 + k 2 u , 2 k 1 + k ) {\displaystyle \operatorname {sn} \left(u,k\right)={\frac {{\tfrac {2}{1+k}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}{\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}} cn ( u , k ) = 2 1 + k dn 2 ( 1 + k 2 u , 2 k 1 + k ) − 1 − k 1 + k 4 k ( 1 + k ) 2 dn ( 1 + k 2 u , 2 k 1 + k ) {\displaystyle \operatorname {cn} \left(u,k\right)={\frac {{\tfrac {2}{1+k}}\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)-{\tfrac {1-k}{1+k}}}{{\tfrac {4k}{(1+k)^{2}}}\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}} dn ( u , k ) = 2 k 1 + k dn 2 ( 1 + k 2 u , 2 k 1 + k ) + 1 − k 1 + k 4 k ( 1 + k ) 2 dn ( 1 + k 2 u , 2 k 1 + k ) {\displaystyle \operatorname {dn} \left(u,k\right)={\frac {{\tfrac {2k}{1+k}}\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)+{\tfrac {1-k}{1+k}}}{{\tfrac {4k}{(1+k)^{2}}}\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}} 次の恒等式を楕円関数の下降ランデン変換という。 sn ( u , k ) = 2 1 + 1 − k 2 sn ( 1 + 1 − k 2 2 u , 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ) 1 + 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 sn 2 ( 1 + 1 − k 2 2 u , 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ) {\displaystyle \operatorname {sn} \left(u,k\right)={\frac {{\tfrac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}{1+{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}}} cn ( u , k ) = cn ( 1 + 1 − k 2 2 u , 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ) dn ( 1 + 1 − k 2 2 u , 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ) 1 + 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 sn 2 ( 1 + 1 − k 2 2 u , 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ) {\displaystyle \operatorname {cn} \left(u,k\right)={\frac {\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}{1+{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}}} dn ( u , k ) = 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 − ( 1 − dn 2 ( 1 + 1 − k 2 2 u , 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ) ) 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 + ( 1 − dn 2 ( 1 + 1 − k 2 2 u , 1 − 1 − k 2 1 + 1 − k 2 ) ) {\displaystyle \operatorname {dn} \left(u,k\right)={\frac {{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}-\left(1-\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\right)}{{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}+\left(1-\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\right)}}} 当初の母数が 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} であれば、上昇ランデン変換は母数を増加させ、下降ランデン変換は母数を減少させる。上昇ランデン変換を繰り返すことにより、母数が1に収束し、楕円関数は双曲線関数に近似される。下降ランデン変換を繰り返すことにより、母数が0に収束し、楕円関数は三角関数に近似される。この性質により、ランデン変換は楕円関数の数値計算に有用である。
※この「楕円関数のランデン変換」の解説は、「ランデン変換」の解説の一部です。
「楕円関数のランデン変換」を含む「ランデン変換」の記事については、「ランデン変換」の概要を参照ください。
- 楕円関数のランデン変換のページへのリンク
