期待される直列配置数のより正確な推定
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 15:56 UTC 版)
「ランダムに配した点がなす直線」の記事における「期待される直列配置数のより正確な推定」の解説
一辺Lの正方形にランダム配置されたn個の点の中から、偶然にも最大幅wおよび最大距離dとなるであろう3点の直列配置の数をより正確に数式で表すと次の通り。 μ = π 3 w L ( d L ) 3 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) {\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)} エッジ効果（正方形の境界を越えるため失われた直列配置）が含まれる場合、その数式は次のようになる。 μ = π 3 w L ( d L ) 3 n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( 1 − 3 π ( d L ) + 3 5 ( 4 π − 1 ) ( d L ) 2 ) {\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(1-{\frac {3}{\pi }}\left({\frac {d}{L}}\right)+{\frac {3}{5}}\left({\frac {4}{\pi }}-1\right)\left({\frac {d}{L}}\right)^{2}\right)} k個の点による直列配置（エッジ効果は無視）を一般化したものが、下の数式。 μ = π n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − ( k − 1 ) ) k ( k − 2 ) ! ( w L ) k − 2 ( d L ) k {\displaystyle \mu ={\frac {\pi n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\cdots \left(n-\left(k-1\right)\right)}{k\left(k-2\right)!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}\left({\frac {d}{L}}\right)^{k}} これは、前節の粗い近似とほぼ似通った漸近的拡大特性を有しており、他の変数の影響を圧倒するほど大きなnの組み合わせ爆発が起こる。
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