最大化引数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/20 04:59 UTC 版)
函数 f {\displaystyle f} が微分可能であるなら、その導函数は凸共役の計算における最大化引数（maximizing argument）である。すなわち、 f ′ ( x ) = x ∗ ( x ) := arg sup x ⋆ ⟨ x , x ⋆ ⟩ − f ⋆ ( x ⋆ ) {\displaystyle f^{\prime }(x)=x^{*}(x):=\arg \sup _{x^{\star }}{\langle x,x^{\star }\rangle }-f^{\star }(x^{\star })} と f ⋆ ′ ( x ⋆ ) = x ( x ⋆ ) := arg sup x ⟨ x , x ⋆ ⟩ − f ( x ) ; {\displaystyle f^{\star \prime }(x^{\star })=x(x^{\star }):=\arg \sup _{x}{\langle x,x^{\star }\rangle }-f(x);} が成り立つ。したがって x = ∇ f ⋆ ( ∇ f ( x ) ) , {\displaystyle x=\nabla f^{\star }(\nabla f(x)),} x ⋆ = ∇ f ( ∇ f ⋆ ( x ⋆ ) ) , {\displaystyle x^{\star }=\nabla f(\nabla f^{\star }(x^{\star })),} であり、さらに次が成立する。 f ′ ′ ( x ) ⋅ f ⋆ ′ ′ ( x ⋆ ( x ) ) = 1 , {\displaystyle f^{\prime \prime }(x)\cdot f^{\star \prime \prime }(x^{\star }(x))=1,} f ⋆ ′ ′ ( x ⋆ ) ⋅ f ′ ′ ( x ( x ⋆ ) ) = 1. {\displaystyle f^{\star \prime \prime }(x^{\star })\cdot f^{\prime \prime }(x(x^{\star }))=1.}
※この「最大化引数」の解説は、「凸共役性」の解説の一部です。
「最大化引数」を含む「凸共役性」の記事については、「凸共役性」の概要を参照ください。
- 最大化引数のページへのリンク
