旅人算

デジタル大辞泉

たびびと‐ざん【旅人算】

読み方：たびびとざん

文章題の一。二人の旅人の歩く速さ・時間・距離の三つの関係をもとに、出会ったり追いついたりするのに要する時間や距離を求める計算。

算数用語集・数学用語集

旅人算

動いている2つのものの速さ・時間・2つの間の道のりの関係について考える問題。

ＡとＢが同じ地点から反対の方向に進むとき

ＡとＢの間の道のり＝（Ａの速さ＋Ｂの速さ）×時間

ＡとＢが向かいあって進むとき

出会うまでの時間＝ＡとＢの間の道のり÷（Ａの速さ＋Ｂの速さ）

ＡとＢが同じところから同じ方向に同時に進むとき

ＡとＢの間の道のり＝（Ａの速さ－Ｂの速さ）×時間

ＡがＢを追いかけるとき

追いつく時間＝ＡとＢの間の道のり÷（Ａの速さ－Ｂの速さ）

参考

• 算数の文章問題

ウィキペディア

旅人算

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/07 17:16 UTC 版)

旅人算（たびびとざん）とは、算数において速さを題材とする文章題の類型のひとつ。動くものが2つあるとき、2つのものの隔たりの推移に関する問題をいう。2つの物の進行方向により、出会い算と追いつき算に分けられる。通常は、速さを単純にたし引きして解ける。

公式

• 向かい合って進む場合（出会い算）
  • 出会うまでの時間 = 2地点の距離 ÷ 速さの和
• 同じ方向に進む場合（追いつき算）
  • 追いつくまでの時間 = はじめの距離 ÷ 速さの差

多くの場合はこれらを用いて解く。

例題

次のような問題が典型的である（追いつき算の例）。

太郎さんは午前8時に、毎分60mで歩いて家から学校へ向かいました。寝坊した次郎さんは午前8時15分に、毎分150mの自転車で家を出発しました。次郎さんは、太郎さんを途中で追い越し、太郎さんよりも9分早く学校へ着きました。

(1) 次郎さんが太郎さんに追いついたのは何時何分ですか?

(2) 家から学校までの距離は何mですか?

解法

公式 ・距離　距離＝速さ×時間 ・時間　時間＝距離÷速さ ・速さ　速さ＝距離÷時間

解答

(1) 次郎が出発した時点ですでに太郎は15分間歩いているので、その距離の差は

60 × 15 ＝ 900（m）

である。太郎を追いかけた次郎は、1分間で 150－60＝90（m）だけ、その差を縮めることができる。したがって、出発時についていた900mの差を次郎が縮めるには

900 ÷ 90 ＝ 10（分）

かかる。次郎の出発は8時15分だったので、10分を足して8時25分に太郎に追いついたことになる。

(2) 追い越した後は、1分間に90mずつ差が開いていく。それは、次郎の後を追う太郎が 90÷60＝1.5（分）で歩ける距離である。次郎が学校に着いたのは

9 ÷ 1.5 ＝ 6（分）

後なので、次郎は合計で 10＋6＝16（分）自転車で走ったことになる。つまり、学校までの距離は

150 × 16 ＝ 2400（m）

である。

別解

距離 ＝速さ × 時間

• 上の公式から「同じ距離を進む場合、時間の比は速さの逆比になる」という点に注目する。
• 線分図を描くと、より容易に理解できる。

速さの比は、

太郎 : 次郎 ＝ 60 : 150 ＝ 2 : 5

であるから、同じ距離を進むのにかかる時間の比は、

太郎 : 次郎 ＝ 5 : 2

である。

同じ距離（家から追いつくまで、または家から学校まで）を進むのに太郎がかかった時間を★★★★★、次郎がかかった時間を★★とすると、その差は★★★である。

(1) 追いつくまで

太郎がかかった時間 …			25分
次郎がかかった時間 …			10分
その差 …			15分

追いつくまでは、差★★★が15分なので、

★ ＝ 15 ÷ 3 ＝ 5（分）

であり、太郎がかかった時間は

★ × 5 ＝ 5 × 5 ＝ 25（分）

である。したがって、8時25分に追いつかれたことになる。

(2) 全体

太郎がかかった時間 …			40分
次郎がかかった時間 …			16分
その差 …			24分

学校までは、太郎のほうが次郎より24分（最初の15分＋最後の9分）長く歩いていることになる。 差★★★が24分なので、

★ ＝ 24 ÷ 3 ＝ 8（分）

であり、太郎がかかった時間は

★ × 5 ＝ 8 × 5 ＝ 40（分）

である。太郎の速さは毎分60mだから、家から学校までの距離は

60 × 40 ＝ 2400（m）

である。

進行グラフによる解法

横軸を時間とし、縦軸を距離とする「進行グラフ」を使って解くこともできる。

1次関数による解法

太郎は速さ60m/mなのでy=60x(y軸は距離、x軸は時間。原点を8:00とする) 次郎は速さ150m/mなので、y=150xとしたいが、彼は太郎の15分後に出発しているので、座標(x,y)=(15,0)を通ることから、y=150x-2250となる。追いつく時間は両関数の交点の座標なので、60x=150x-2250を解くと、x=25。故に、8:25に追いつく。次郎のつく時間をtとすると、太郎のつく時間は(t+9)となる。60(t+9)=150t-2250=距離なので、tについて解くと、t=31。60(31+9)=2400。故に2400mとなる。

応用

旅人算の応用として、

• 3人旅人算 - 2人ずつの3組の旅人算の組み合わせで解く問題
• 時計算 - 角度から時刻を求める、時刻から角度を求める、針が線対称な時刻を求めるなど
• 通過旅人算
• 流水旅人算

などの形で問題とされることがある。

また、経路が環状、複線(平面)、複線（空間）であったり、速さが規則的に変化したりする問題もある。

関連項目

• 算数
  • 流水算
  • 通過算
  • ニュートン算
• 中学受験
• 物理学
  • 相対速度

Weblio日本語例文用例辞書

「旅人算」の例文・使い方・用例・文例

• 旅人算という,算数の応用問題