座標近傍 (位相幾何学)

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アトラス (多様体)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/09 01:38 UTC 版)

数学の特に微分位相幾何学におけるアトラス (英: atlas; 地図帳) あるいは座標近傍系（ざひょうきんぼうけい、英: co­ordinate neighbourhood system）は多様体を記述するために必要である。アトラスはチャート (英: chart; 地図) あるいは座標近傍 (co­ordinate neighbourhood) と呼ばれる元の族であり、各チャートは簡単に言えば多様体の各点の周りの適当な領域に座標を入れて考えられるようにするものである。例えば地表を多様体と見なせば、アトラスとその各チャートは日常的な意味で言う地図帳と各地図と考えられる。一般には、アトラスは多様体の厳密な定義の一部として含まれ、あるいは多様体と関連深いベクトル束などのファイバー束においても同様である。

定義

アトラスの定義にはチャートの概念が必要である

定義 (chart)

位相空間 M のチャートは M の開集合 U と U 上で定義されたユークリッド空間の開集合への同相写像 φ の組 (U, φ) を言う。このとき、φ を U 上の座標系（座標函数系、座標標構、座標写像などとも）と呼び、φ の像空間における各成分を局所座標函数あるいは U 上の座標函数と呼ぶ。また、M の各点 p に対し、p ∈ U となるようなチャート (U, φ) を考えるとき、U を p の座標近傍、φ(p) を x の座標と呼ぶ。

定義

位相空間 M のアトラスとは、A で添字付けられた M のチャートの族 (U_α, φ_α)_α∈A で ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }=M}$

$M$

Two charts on a manifold, and their respective transition map