平衡点の計算例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 21:49 UTC 版)
f(xe) = 0 が代数的に解けるときは、平衡点 xe を式で書き表すことができる。例えば、 { d x d t = x ( 2 − x − y ) d y d t = x − y {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}=x(2-x-y)\\{\dfrac {dy}{dt}}=x-y\end{cases}}} という微分方程式系であれば、 { x ( 2 − x − y ) = 0 x − y = 0 {\displaystyle {\begin{cases}x(2-x-y)=0\\x-y=0\end{cases}}} という連立方程式を解くことにより、(x, y) = (1, 1) と (x, y) = (0, 0) の2点がこの微分方程式系の平衡点であることが分かる。 方程式の係数が変数で与えられているような例としては、次のローレンツ方程式を挙げる。 { d x d t = σ y − σ x d y d t = r x − y − x z d z d t = x y − b z {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {dx}{dt}}=\sigma y-\sigma x\\{\dfrac {dy}{dt}}=rx-y-xz\\{\dfrac {dz}{dt}}=xy-bz\end{cases}}} ここで、σ, r, b は t に依存しない定数（パラメータ）である。ローレンツ方程式の1つの平衡点は ( x y z ) = ( 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}} で、この原点の平衡点はパラメータの値に依存せずに常に存在する。さらに r > 1, b > 0 の条件下で、原点の平衡点 に加え、次の2つの平衡点が存在する。 ( x y z ) = ( b ( r − 1 ) b ( r − 1 ) r − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {b(r-1)}}\\{\sqrt {b(r-1)}}\\r-1\end{pmatrix}}} ( x y z ) = ( − b ( r − 1 ) − b ( r − 1 ) r − 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\sqrt {b(r-1)}}\\-{\sqrt {b(r-1)}}\\r-1\end{pmatrix}}}
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