平均幅とは？わかりやすく解説

初等幾何学における平均幅（へいきんふく、英: mean width）は立体の「大きさ」に関する測度の一つである（立体の測度として利用可能なもののより詳細はハドヴィガーの定理を参照せよ）。

$N$ -次元の場合に、 $S N -1$ 上の与えられた方向 $ˆ n$ へ直交する $(N - 1)$ -次元超平面を考える（ここに $S m$ は $m$ -次元球面（ $(m + 1)$ -次元球体の境界面）である）と、与えられた方向 $ˆ n$ への立体の「幅」("width") は、そのような超平面の対でその間に立体を完全に挟む（立体と超平面との交わりは境界上の点に限る）もののうち最も近い対の成す距離を言う。平均幅とは、この「幅」の $S N -1$ の全ての方向 $ˆ n$ に亘ってとった算術平均を言う。

より厳密に、コンパクト立体 $B$ をその内部と境界からなる同値な点集合（この場合の点とは $R N$ の元である）として定義し、立体 $B$ の支持函数（英語版）（支持超平面と原点との距離）は $h_{B}(n):=\max\{\langle n,x\rangle \mid x\in B\}$

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