小定理の証明とは? わかりやすく解説

小定理の証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/07/15 14:10 UTC 版)

ピカールの定理」の記事における「小定理の証明」の解説

定理大定理の系である。 f ( z ) {\displaystyle f(z)} が整関数であれば g ( z ) = f ( 1 z ) {\displaystyle g(z)=f\left({\tfrac {1}{z}}\right)} は z = 0 {\displaystyle z=0} 以外に特異点持たない。 z = 0 {\displaystyle z=0} が真性特異点であれば大定理により g ( z ) {\displaystyle g(z)} は高々唯一の例外を除く全ての複素数値を取る。 g ( 0 ) {\displaystyle g(0)} が(若しくは除去可能な特異点)であれば、その主要部除去したもの g ( z ) − ∑ c n z − n {\displaystyle g(z)-\sum {{c_{n}}z^{-n}}} は他に特異点持たず有界であるからリウヴィルの定理により定数である。従って、 g ( z ) {\displaystyle g(z)} は z − 1 {\displaystyle z^{-1}} の多項式であり、それが定数でないかぎり、代数学の基本定理により全ての複素数値を取る。何れにせよ、 g ( z ) = f ( 1 z ) {\displaystyle g(z)=f\left({\tfrac {1}{z}}\right)} は、それ定数でないかぎり、高々唯一の例外を除く全ての複素数値を取ることになる。

※この「小定理の証明」の解説は、「ピカールの定理」の解説の一部です。
「小定理の証明」を含む「ピカールの定理」の記事については、「ピカールの定理」の概要を参照ください。

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