対称性のある物体に対するマッカラーの公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:49 UTC 版)
「マッカラーの公式」の記事における「対称性のある物体に対するマッカラーの公式」の解説
質量中心を通る軸 O P ¯ {\displaystyle {\overline {OP}}} のまわりの慣性モーメントは、慣性テンソルを表す 3×3行列を対角化することで得られる主慣性モーメント A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} を使って I = n x 2 A + n y 2 B + n z 2 C {\displaystyle I=n_{x}^{2}A+n_{y}^{2}B+n_{z}^{2}C} と書くことができる。ここで n x {\displaystyle n_{x}} , n y {\displaystyle n_{y}} , n z {\displaystyle n_{z}} は O P ¯ {\displaystyle {\overline {OP}}} （単位ベクトル）の慣性主軸 Ox, Oy, Oz への方向余弦を表す。 物体が Oz-軸を中心に回転する（Oz について軸対称である）と仮定する。このとき A = B {\displaystyle A=B} である。 ϕ {\displaystyle \phi } を O P ¯ {\displaystyle {\overline {OP}}} が Oxy-平面となす角とする。このとき n z = sin ϕ {\displaystyle n_{z}=\sin \phi } であり、 n x 2 + n y 2 + n z 2 = 1 {\displaystyle n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}=1} だから方向余弦は sin 2 ϕ = 1 − n x 2 − n y 2 {\displaystyle \sin ^{2}\phi =1-n_{x}^{2}-n_{y}^{2}} である。 A = B {\displaystyle A=B} としているので、マッカラーの公式は V ( P ) = G M r − 1 − 1 2 G r − 3 ( 3 I − 2 A − C ) {\displaystyle V(P)=GMr^{-1}-{\frac {1}{2}}Gr^{-3}(3I-2A-C)} となる。慣性モーメント I は I = A ( n x 2 + n y 2 ) + C sin 2 ϕ = A ( 1 − sin 2 ϕ ) + C sin 2 ϕ {\displaystyle I=A(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})+C\sin ^{2}\phi =A(1-\sin ^{2}\phi )+C\sin ^{2}\phi } となるから、回転体に対するマッカラーの公式は最終的に次の形になる。 V ( P ) = G M r − 1 + 1 2 G r − 3 ( C − A ) ( 1 − 3 sin 2 ϕ ) {\displaystyle V(P)=GMr^{-1}+{\frac {1}{2}}Gr^{-3}(C-A)(1-3\sin ^{2}\phi )}
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