基本単数系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/20 06:23 UTC 版)
ディリクレの単数定理で与えられる η 1 , … , η r 1 + r 2 − 1 {\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\ \eta _{r_{1}+r_{2}-1}} を基本単数系 (fundamental units system) といい、それぞれを、基本単数 (fundamental unit) という。 注意：基本単数系は、K に対して1組しか存在しないわけではない。以下のことにより、一般に、基本単数系は無限に存在する。 η 1 , … , η r {\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\ \eta _{r}} を、代数体 K の基本単数系とする。 η 1 ′ , … , η r ′ {\displaystyle \eta '_{1},\ldots ,\ \eta '_{r}} が、K の基本単数系である必要十分条件は、各 i ( i = 1 , … , r ) {\displaystyle (i=1,\ldots ,r)} に対して、 η i ′ = ρ a i 0 η 1 a i 1 ⋯ η r a i r {\displaystyle \eta '_{i}=\rho ^{a_{i0}}\eta _{1}^{a_{i1}}\cdots \eta _{r}^{a_{ir}}} ( ρ m = 1 , a i j ∈ Z ) {\displaystyle (\rho ^{m}=1,\ a_{ij}\in \mathbb {Z} )} と、 η 1 ′ , … , η r ′ {\displaystyle \eta '_{1},\ldots ,\ \eta '_{r}} を η 1 , … , η r {\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\ \eta _{r}} を用いて表したとき、 | a 11 ⋯ a 1 r ⋮ ⋱ ⋮ a r 1 ⋯ a r r | = ± 1 {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1r}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{r1}&\cdots &a_{rr}\end{vmatrix}}=\pm 1} が成立することである。
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