固有ベクトルと固有値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 14:46 UTC 版)
巡回行列の規格化された固有ベクトルは v j = 1 n ( 1 , ω j , ω j 2 , … , ω j n − 1 ) T , j = 0 , 1 , … , n − 1 , {\displaystyle v_{j}={\frac {1}{\sqrt {n}}}(1,~\omega _{j},~\omega _{j}^{2},~\ldots ,~\omega _{j}^{n-1})^{T},\quad j=0,1,\ldots ,n-1,} で与えられ、これらは正規直交系を成す。ここで ω j = exp ( 2 π i j n ) {\displaystyle \omega _{j}=\exp \left({\tfrac {2\pi ij}{n}}\right)} は1のn 乗根で、 i {\displaystyle i} は虚数単位である。 対応する固有値は λ j = c 0 + c n − 1 ω j + c n − 2 ω j 2 + … + c 1 ω j n − 1 , j = 0 … n − 1. {\displaystyle \lambda _{j}=c_{0}+c_{n-1}\omega _{j}+c_{n-2}\omega _{j}^{2}+\ldots +c_{1}\omega _{j}^{n-1},\qquad j=0\ldots n-1.} で与えられる(以上の事実は実際に Cvj を計算してみればわかる)。
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