回転軸の変更
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/10 05:04 UTC 版)
次に回転軸の異なるスピン角運動量の関係を見る。n、m∈R3を2つの単位ベクトルとし、nとmが回転行列Rにより、 n = R m {\displaystyle \mathbf {n} =R\mathbf {m} } で移り合っていたとする。写像Φ3 : Spin(3)=SU(2) → SO(3)は２：１の全射であるので、 R = Φ 3 ( U ) = Φ 3 ( − U ) {\displaystyle R=\Phi _{3}(U)=\Phi _{3}(-U)} を満たすUが存在する。 スピン角運動量演算子 S ^ n {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }} 、 S ^ l {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {l} }} はその定義より、Vs上のユニタリ演算子であり、両者は S ^ n = π s ( U ) S ^ m π s ( U ) − 1 {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=\pi _{s}(U){\hat {S}}_{\mathbf {m} }\pi _{s}(U)^{-1}} という関係で結ばれる。ここで右辺は S ^ l {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {l} }} とπs(U)の行列としての積である。 証明 ( Φ 3 ) ∗ ( X n ) = F n = R F m R − 1 = ( Φ 3 ) ∗ ( U X m U − 1 ) {\displaystyle (\Phi _{3})_{*}(X_{\mathsf {n}})=F_{\mathsf {n}}=RF_{\mathsf {m}}R^{-1}=(\Phi _{3})_{*}(UX_{\mathsf {m}}U^{-1})} なので、(Φ3)*が同型写像である事から、 X n = U X m U − 1 {\displaystyle X_{\mathsf {n}}=UX_{\mathsf {m}}U^{-1}} よって任意のt∈Rに対し、 exp ( t X n ) = exp ( t U X m U − 1 ) {\displaystyle \exp(tX_{\mathsf {n}})=\exp(tUX_{\mathsf {m}}U^{-1})} = ∑ n 1 n ! ( t U X m U − 1 ) n = ∑ n 1 n ! U ( t X m ) n U − 1 {\displaystyle =\sum _{n}{1 \over n!}(tUX_{\mathsf {m}}U^{-1})^{n}=\sum _{n}{1 \over n!}U(tX_{\mathsf {m}})^{n}U^{-1}} = U ( ∑ n 1 n ! ( t X m ) n ) U − 1 = U exp ( t X m ) U − 1 {\displaystyle =U(\sum _{n}{1 \over n!}(tX_{\mathsf {m}})^{n})U^{-1}=U\exp(tX_{\mathsf {m}})U^{-1}} したがって S ^ n = i ℏ ( π s ) ∗ ( X n ) = i ℏ d d t π s ( exp ( t X n ) ) | t = 0 {\displaystyle {\hat {S}}_{\mathbf {n} }=i\hbar (\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {n} })=i\hbar \left.{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\pi _{s}(\exp(tX_{\mathbf {n} }))\right|_{t=0}} = i ℏ π s ( U ) d d t π s ( exp ( t X m ) ) | t = 0 π s ( U ) − 1 = i ℏ π s ( U ) ( π s ) ∗ ( X m ) π s ( U ) − 1 {\displaystyle =i\hbar \pi _{s}(U)\left.{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\pi _{s}(\exp(tX_{\mathbf {m} }))\right|_{t=0}\pi _{s}(U)^{-1}=i\hbar \pi _{s}(U)(\pi _{s})_{*}(X_{\mathbf {m} })\pi _{s}(U)^{-1}} = i ℏ π s ( U ) S ^ m π s ( U ) − 1 {\displaystyle =i\hbar \pi _{s}(U){\hat {S}}_{\mathbf {m} }\pi _{s}(U)^{-1}}
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