回転行列を用いた証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 07:01 UTC 版)
「ピタゴラスの定理」の記事における「回転行列を用いた証明」の解説
平面の原点を中心とする角 θ の回転は R ( θ ) = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] {\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}} で表される。R (θ) R (−θ) = I2 （単位行列）であるが、この式の左辺を直接計算すると R ( θ ) ⋅ R ( − θ ) = [ cos θ − sin θ sin θ cos θ ] [ cos θ sin θ − sin θ cos θ ] = [ cos 2 θ + sin 2 θ cos θ sin θ − sin θ cos θ sin θ cos θ − cos θ sin θ sin 2 θ + cos 2 θ ] = [ sin 2 θ + cos 2 θ 0 0 sin 2 θ + cos 2 θ ] {\displaystyle {\begin{aligned}R(\theta )\cdot R(-\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &\cos \theta \sin \theta -\sin \theta \cos \theta \\\sin \theta \cos \theta -\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta &0\\0&\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}\end{aligned}}} となる。したがって sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1} が得られる。ここで、前提とした △ABC について考え、∠A = θ とおいて、三角関数と直角三角形の関係を考慮すれば、正弦定理より a sin θ = b sin ( π − π 2 − θ ) = c sin ( π 2 ) a sin θ = b cos θ = c {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{\sin \theta }}&={\frac {b}{\sin(\pi -{\frac {\pi }{2}}-\theta )}}={\frac {c}{\sin({\frac {\pi }{2}})}}\\{\frac {a}{\sin \theta }}&={\frac {b}{\cos \theta }}=c\end{aligned}}} であるから a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} が得られる。
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