ねじれ群

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ねじれ群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/22 16:25 UTC 版)

群論における捩れ群（ねじれぐん、英: torsion group）または周期群（しゅうきぐん、英: periodic group）はその各元が有限位数を持つ群を言う。

任意の有限群は周期的である。なお、周期群と巡回群とは違うものである。

定義

ねじれ群 G に対して、そのすべての元の位数の最小公倍数を（存在すれば）G の冪数 (exponent) と呼ぶ。

任意の有限群は冪数を持ち、それは G の位数 |G| の約数である。

有限群とねじれ群の間の関係性を扱うバーンサイドの問題は、G が有限生成群とだけ仮定する場合には、古典的な問題である。それは冪数を特定することが有限性を導くかを問うもの（そして一般には答えは「否」）である。

無限ねじれ群の例として、有限体上の多項式環の加法群や、有理数の加法群を整数の加法群で割った商およびそれらの直和因子、プリューファー群などが挙げられる。他にも、二面体群すべての合併などもそうである。以上の例は有限生成でなく、また任意の有限生成ねじれ線型群は有限群になる。有限生成無限周期群の陽な例は、Golod (1964) がシャファレヴィッチと共同で構成した（ゴロド–シャファレヴィッチの定理を参照）。あるいはまた Aleshin (1972) と Grigorchuk (1980, 1984) がオートマトンを用いて構成した。

数理論理学

ねじれ群の興味深い性質の一つは、それが一階述語論理で定式化できないことである。これは偏に、定義に必要となる

$$\forall x.\,((x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots )$$

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