各種の公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/30 17:28 UTC 版)
円の半径を R, 中心角は θ [rad] = α [°] とし、弦の長さ c および弧長 s と矢の長さ h および扇形の三角形部分の高さを d とする。 円の半径は R = h + d = h 2 + c 2 8 h {\displaystyle R=h+d={\frac {h}{2}}+{\frac {c^{2}}{8h}}} と表せる。 後者の h と c で表された式は、2R（直径の長さ）と c が互いに直交する弦の長さであることに注意すれば交弦定理（英語版）（方冪の定理の特別の場合）から ( 2 R − h ) ⋅ h = c 2 ⋅ c 2 = c 2 4 ⟺ 2 R = c 2 4 h + h ⟺ R = c 2 8 h + h 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&(2R-h)\cdot h={\frac {c}{2}}\cdot {\frac {c}{2}}={\frac {c^{2}}{4}}\\&\iff 2R={\frac {c^{2}}{4h}}+h\\&\iff R={\frac {c^{2}}{8h}}+{\frac {h}{2}}\end{aligned}}} と求められる。 円弧の長さは s = α 180 π R = θ R = arcsin ( c h + ( c 2 / 4 h ) ) ( h + c 2 4 h ) {\displaystyle s={\frac {\alpha }{180}}\pi R=\theta R=\arcsin \!{\Big (}{\frac {c}{h+(c^{2}/4h)}}{\Bigr )}{\Bigl (}h+{\frac {c^{2}}{4h}}{\Bigr )}} と書ける。 最後の逆正弦函数 arcsin を用いた式は、同じ弧を見込み一辺が直径となるような円周角を考えることで導かれる。実際、円周角の大きさは θ/2 であり、その角を含む斜辺が直径であるような直角三角形が作れる。このような設定は、以下で見るようなほかの逆三角函数公式を導くにも有用である。 さらに半角公式やピタゴラス関係式などを用いれば、弦長 c = 2 R sin θ 2 = R 2 − 2 cos θ = 2 R 1 − ( d / R ) 2 {\displaystyle c=2R\sin {\frac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2-2\cos \theta }}=2R{\sqrt {1-(d/R)^{2}}}} あるいは矢の長さ h = R ( 1 − cos θ 2 ) = R − R 2 − c 2 4 {\displaystyle h=R{\Bigl (}1-\cos {\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}} および中心角 θ = 2 arctan c 2 d = 2 arccos d R = 2 arccos ( 1 − h R ) = 2 arcsin c 2 R {\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {c}{2d}}=2\arccos {\frac {d}{R}}=2\arccos {\Bigl (}1-{\frac {h}{R}}{\Bigr )}=2\arcsin {\frac {c}{2R}}} なども計算できる。
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