可換群の圏

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アーベル群の圏

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/01 09:04 UTC 版)

「アーベル圏」とは異なります。

数学の一分野である圏論におけるアーベル群の圏（あーべるぐんのけん、英: category of abelian groups）Ab は、アーベル群を対象とし群準同型を射とする圏である。アーベル群の圏はアーベル圏の原型であり^[1]、実際に任意の小さいアーベル圏は Ab に埋め込める^[2]。

性質

• アーベル群の圏 Ab の零対象は、単位元のみからなる自明群 {0} が与える。
• アーベル群の圏 Ab の単型射は単準同型であり、全型射は全準同型、同型射は双射準同型である。
• アーベル群の圏 Ab は群の圏 Grp の充満部分圏である。両者の主な違いは、Ab において二つの準同型 f, g の「和」f + g が定義され、$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x+y)=f(x+y)+g(x+y)&=f(x)+f(y)+g(x)+g(y)\\&=f(x)+g(x)+f(y)+g(y)=(f+g)(x)+(f+g)(y)\end{aligned}}}$$ カテゴリ