位相同士の比較
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
定義 (位相の比較) ― 集合X 上で定義された2つの位相空間 ( X , O 1 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{1})} 、 ( X , O 2 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{2})} を考える。 O 1 ⊂ O 2 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}\subset {\mathcal {O}}_{2}} が満たされるとき、 O 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}} は O 2 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}} よりも弱い（英: weak）といい、 O 2 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}} は O 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}} より強い（英: strong）という。 これはすなわち、 ( X , O 1 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{1})} の開集合は必ず ( X , O 2 ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{2})} の開集合である事を意味する。弱い/強いのかわりに粗い/細かい(英: coarse/fine)、小さい/大きい(英: small/large)という言葉を使うこともある。 O 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}} が O 2 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}} よりも粗い必要十分条件は、恒等写像 id : ( X , O 2 ) → ( X , O 1 ) , x ↦ x {\displaystyle \operatorname {id} ~:~(X,{\mathcal {O}}_{2})\to (X,{\mathcal {O}}_{1}),\ \ x\mapsto x} が連続な事である。したがって O 1 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{1}} で収束する有向点族は O 2 {\displaystyle {\mathcal {O}}_{2}} でも収束するが、逆は必ずしも成立しない。
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