交わり (集合論)とは？わかりやすく解説

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数学において、集合族の共通部分（きょうつうぶぶん、英: intersection, meet）とは、与えられた集合の集まり（族）全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。

共通集合（きょうつうしゅうごう）、共通分^[1]（きょうつうぶん）、交叉（こうさ）、交差（こうさ）、交わり（まじわり）、積集合（せきしゅうごう）、積（せき）^[2]などとも呼ばれる。

ただし、積集合は直積集合の意味で用いられることが多い^[要出典]。

定義

集合 $A$ , $B$ の交わりは $A \cap B$ と記される^[5]。これは

x \in A \cap B \Leftrightarrow x \in A かつ x \in B

ということであり、記号では

A \cap B = {x | x \in A \land x \in B}

と書ける。 $A \cap B$ に含まれるような元が存在するとき $A$ と $B$ とは互いに交わるあるいは交わりを持つという。

また、そのような元の存在しないとき A と B は互いに素であるまたは交わりを持たない (disjoint) といい、

A \cap B = \emptyset

と書く。ただしここで、 $\emptyset$ は空集合を表す。

有限個の集合 $M 1, \dots M k$ の交わり

M_{1}\cap M_{2}\cap \cdots \cap M_{k}