一次微分形式の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/09/04 14:00 UTC 版)
開集合 U 上定義された1-形式 ω が完全とは、U 上定義された可微分函数 F が存在して ω = dF となるときを言う。言い換えれば、ω によるベクトル場が勾配場とのスカラー積となる。 ポワンカレの補題によれば、単連結開集合上の C1-級微分 1-形式が完全となるのは、それが閉となるとき（かつそのときに限る）である。
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一次微分形式の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/28 16:53 UTC 版)
詳細は「1-形式」を参照 n-次元の 1-形式 ω ( u ) = a 1 ( u ) d x 1 + ⋯ + a n ( u ) d x n {\textstyle \omega (u)=a_{1}(u){\mathit {dx}}_{1}+\dotsb +a_{n}(u){\mathit {dx}}_{n}} が閉であるとは、 ∂ a i ∂ x j − ∂ a j ∂ x i = 0 ( ∀ i < j ≤ n ) {\displaystyle {\frac {\partial a_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial a_{j}}{\partial x_{i}}}=0\quad (\forall i<j\leq n)} が成り立つことである。これは全部で n(n – 1)/2 この条件を満足することを言っている。 一次元の場合、可微分 1-形式 ω := A(x)dx は常に閉である。 二次元の場合、1-形式 ω := A(x, y)dx + B(x, y)dy が閉となるのは、 ( ∂ A ∂ y ) x = ( ∂ B ∂ x ) y {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial y}}{\Big )}_{x}={\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial x}}{\Big )}_{y}} を満たすときである。 三次元の場合、1-形式 ω := A(x, y, z)dx + B(x, y, z)dy + C(x, y, z)dz が閉となるのは、 ( ∂ A ∂ y ) x , z = ( ∂ B ∂ x ) y , z ; ( ∂ A ∂ z ) x , y = ( ∂ C ∂ x ) y , z ; ( ∂ B ∂ z ) x , y = ( ∂ C ∂ y ) x , z {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial y}}{\Big )}_{x,z}={\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial x}}{\Big )}_{y,z};\qquad {\Bigl (}{\frac {\partial A}{\partial z}}{\Big )}_{x,y}={\Bigl (}{\frac {\partial C}{\partial x}}{\Big )}_{y,z};\qquad {\Bigl (}{\frac {\partial B}{\partial z}}{\Big )}_{x,y}={\Bigl (}{\frac {\partial C}{\partial y}}{\Big )}_{x,z}} となるときである。これは Ω := t(A, B, C) に対して rot Ω = 0 となることに対応する。
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