ロンスキー行列式

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ロンスキー行列式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/12 05:19 UTC 版)

数学の特に線型代数学におけるロンスキー行列式（ロンスキーぎょうれつしき、英: Wronski determinant）またはロンスキアン（英: Wronskian）は Józef Hoene-Wronski (1812) が導入した行列式で、Thomas Muir (1882, Chapter XVIII) が名づけた。微分方程式の研究において用いられ、解の集合が線型独立であることを示すのに利用される。

定義

2 つの函数 f, g のロンスキー行列式は W(f, g) = fg' − gf' で与えられる。より一般に、n 個の実または複素数値函数 f₁, ..., f_n が区間 I 上で n − 1 階まで微分可能とするとき、それらのロンスキー行列式 W(f₁, ..., f_n) とは

${\displaystyle W(f_{1},\ldots ,f_{n})(x)=\left|{\boldsymbol {f}}_{1}(x){\boldsymbol {f}}_{2}(x)\dots {\boldsymbol {f}}_{n}(x)\right|={\begin{vmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f_{1}'(x)&f_{2}'(x)&\cdots &f_{n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}},\qquad x\in I}$

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• Bocher, Maxime (1901), “Certain Cases in Which the Vanishing of the Wronskian is a Sufficient Condition for Linear Dependence”, Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society) 2 (2): 139–149, ISSN 0002-9947, JSTOR 1986214, https://jstor.org/stable/1986214 
• Hartman, Philip (1964), Ordinary differential equations, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-89871-510-1, MR0171038, https://books.google.co.jp/books?id=CENAPMUEpfoC&redir_esc=y&hl=ja 
• Hoene-Wronski, J. (1812), Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange, Paris 
• Muir, Thomas (1882), A treatise on the theorie of determinants., Macmillan, https://archive.org/details/atreatiseontheo00muirgoog 
• Peano, Giuseppe (1889), “Sur le déterminant wronskien.” (French), Mathesis IX: 75–76, 110–112, JFM 21.0153.01 
• Rozov, N. Kh. (2001), “Wronskian”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Wronskian 
• Wolsson, Kenneth (1989a), “A condition equivalent to linear dependence for functions with vanishing Wronskian”, Linear Algebra and its Applications 116: 1–8, doi:10.1016/0024-3795(89)90393-5, ISSN 0024-3795, MR989712 
• Wolsson, Kenneth (1989b), “Linear dependence of a function set of m variables with vanishing generalized Wronskians”, Linear Algebra and its Applications 117: 73–80, doi:10.1016/0024-3795(89)90548-X, ISSN 0024-3795, MR993032