リュイリエの定理

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リュイリエの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/19 20:26 UTC 版)

リュイリエの定理（英: L'Huilier's theorem) とは、初等幾何学における三角形についての定理で、1809年に^[1]スイスの数学者サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエによって提唱されたものである。

定理

リュイリエの定理 ― 三角形の内接円の半径を ${\displaystyle r}$、3つの傍接円の半径をそれぞれ ${\displaystyle r_{\text{A}},r_{\text{B}},r_{\text{C}}}$ とすると、

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{\text{A}}}}+{\frac {1}{r_{\text{B}}}}+{\frac {1}{r_{\text{C}}}}}$

証明

面積S の三角形の3辺を a, b, c とする。

内接円の半径r の逆数は

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {a+b+c}{2S}}}$

3傍接円の半径 r_A, r_B, r_C の逆数は

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{A}}}}={\frac {-a+b+c}{2S}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{B}}}}={\frac {a-b+c}{2S}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{C}}}}={\frac {a+b-c}{2S}}}$

故に逆数和は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{r_{\text{A}}}}+{\frac {1}{r_{\text{B}}}}+{\frac {1}{r_{\text{C}}}}&={\frac {-a+b+c}{2S}}+{\frac {a-b+c}{2S}}+{\frac {a+b-c}{2S}}\\&={\frac {a+b+c}{2S}}={\frac {1}{r}}\end{aligned}}}$

となる。

派生項目

リュイリエは、彼の著書 (Lhuilier, 1809) において

${\displaystyle S={\sqrt {r\cdot r_{\text{A}}\cdot r_{\text{B}}\cdot r_{\text{C}}{\vphantom {A}}}}}$

であることも示唆している。

これより

${\displaystyle r_{\text{A}}\,r_{\text{B}}\,r_{\text{C}}={\frac {S^{2}}{r}}}$

であるから、リュイリエの定理：

${\displaystyle {\frac {1}{r_{\text{A}}}}+{\frac {1}{r_{\text{B}}}}+{\frac {1}{r_{\text{C}}}}={\frac {1}{r}}}$

と辺々掛け合わせると

${\displaystyle r_{\text{B}}\,r_{\text{C}}+r_{\text{C}}\,r_{\text{A}}+r_{\text{A}}\,r_{\text{B}}=s^{2}}$

が得られる。ここで s は △ABC の半周長 (a + b + c)/2 である。この等式は、カール・フォイエルバッハが1822年に得たものである^[1][2]。

脚注

1. ^ ^{a b} 岩田至康『幾何学大辞典』 1巻、槙書店、1971年、15,193頁。 
2. ^ それよりも前にリュイリエが彼の著書 (Lhuilier, 1809) において全く同等の等式を示唆している（224頁）。

関連項目

• 三角形の内接円と傍接円
• 三角形#内接円・傍接円による式

出典

• Simon Lhuilier (1809). Elémens d'analyse géométrique et d'analyse algébrique, appliquées à la recherche des lieux géométriques. A Paris: chez J. J. Paschoud; à Genève: chez le même libraire. pp. 223-224. doi:10.3931/e-rara-4330 

外部リンク

• 『図形の美しい３つの定理〜逆数の和〜』 - 高校数学の美しい物語