リーマン形式

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リーマン形式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:12 UTC 版)

数学において、アーベル多様体やモジュラー形式の理論におけるリーマン形式 (リーマンけいしき、Riemann form) とは、以下のデータからなる。

• 複素ベクトル空間 C^g の格子 $\Lambda$
• $\Lambda$ から整数への交代的双線型形式 $\alpha$ であって、次のリーマンの双線型関係式(Riemann bilinear relations)を満たすもの。

1. $\alpha$ の実線型拡大 $\alpha _{\mathbb {R} }\colon \mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C} ^{g}\rightarrow \mathbb {R}$ は、 $\mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C} ^{g}$ のすべての $(v,w)$ に対して、 $\alpha _{\mathbb {R} }(iv,iw)=\alpha _{\mathbb {R} }(v,w)$ を満たす。
2. 付随するエルミート形式 $H(v,w)=\alpha _{\mathbb {R} }(iv,w)+i\alpha _{\mathbb {R} }(v,w)$ は正定値である。

（ここに記述したエルミート形式は、第一変数について線型である。）

リーマン形式は、次の理由により重要である。

• 任意の保型因子のチャーン類の交代化(alternatization)はリーマン形式である。
• 逆に、任意のリーマン形式が与えられると、保型因子であって、そのチャーン類の交代化が与えられたリーマン形式であるようなものを構成できる。

参考文献

• Milne, James (1998), Abelian Varieties, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/av.html 2008年1月15日閲覧。 
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine Geometry, An Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 201, New York, ISBN 0-387-98981-1, MR 1745599 
• Mumford, David (1970), Abelian Varieties, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, 5, London: Oxford University Press, MR 0282985 
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Abelian function", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Theta-function", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。