ラグ（遅れ）作用素を使った記法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 11:22 UTC 版)
「自己回帰移動平均モデル」の記事における「ラグ（遅れ）作用素を使った記法」の解説
ARMAモデルをラグ作用素（遅れ作用素） L を使って表す場合もある。この場合、AR(p)モデルは次のように表される。 ε t = ( 1 − ∑ i = 1 p φ i L i ) X t = φ X t {\displaystyle \varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi X_{t}\,} ここで、φ は次の多項式で表される。 φ = 1 − ∑ i = 1 p φ i L i . {\displaystyle \varphi =1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}.\,} また、MA(q)モデルは次のように表される。 X t = ( 1 + ∑ i = 1 q θ i L i ) ε t = θ ε t {\displaystyle X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta \varepsilon _{t}\,} ここで θ は次の多項式で表される。 θ = 1 + ∑ i = 1 q θ i L i . {\displaystyle \theta =1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}.\,} 以上から、ARMA(p, q)モデルは次のように表される。 ( 1 − ∑ i = 1 p φ i L i ) X t = ( 1 + ∑ i = 1 q θ i L i ) ε t {\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,} あるいは、もっと簡潔に記せば、次のようになる。 φ X t = θ ε t . {\displaystyle \varphi X_{t}=\theta \varepsilon _{t}.\,} ラグ作用素とは、時系列データのある時点のデータで他の時点のデータを表すように係数化したもの。上記の式はいずれも Xt しか出現しない（他の時点のデータが出てこない）ことに注意されたい。他の時点のデータは全てラグ作用素によって表されている。
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