フェルミ順位

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フェルミエネルギー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/28 18:38 UTC 版)

量子力学や物性物理学においてフェルミエネルギー (Fermi energy)あるいはフェルミ準位（Fermi level）とは、相互作用のないフェルミ粒子系（理想フェルミ気体）の絶対零度 $T=0$

50 K ≤ T ≤ 375 Kでの様々な温度におけるμ = 0.55 eVでのフェルミ分布 $f(E)$

最低エネルギーを占有する自由フェルミ粒子は運動量空間で球を作る。この球の表面はフェルミ面である。

2つのスピン状態があるため因子２がつき、全てのnが正である領域には球の1/8だけがあるため、因子1/8がつく。 よって

$n_{\mathrm {F} }=\left({\frac {3N}{\pi }}\right)^{1/3}$

熱力学的平衡状態にある様々な材料における電子状態の占有率を示した図。ここで、高さはエネルギーに対応し、横幅はその材料のそのエネルギーにおける状態密度に対応する。色の濃さはフェルミ・ディラック分布に従う（黒: 完全占有、白: 完全非占有）。金属と半金属ではフェルミ準位 E_F は少くとも一つのバンドの内部にある。絶縁体および半導体ではフェルミ準位はバンドギャップ中にある。ただし、半導体ではバンドがフェルミ準位の十分近くにあり、そのバンドを電子または正孔が熱占有する。

固体のバンド理論では、電子のエネルギー固有状態はバンド構造を形成する。結晶中の電子のエネルギーはバンド構造を形成する。電子はバンド構造中の1粒子エネルギー固有状態 ε を占有する。この1粒子描像は近似ではあるが、電子のふるまいの理解を容易にし、正しく適用すれば一般的に正しい結果を与える。

物質のバンド構造中の E_F の位置は、電子のふるまいを決定する上で重要となる。フェルミ準位は現実のエネルギー準位に必ずしも対応しておらず（絶縁体でのフェルミ準位はバンドギャップの中にある）、バンド構造の存在も必要としない。

金属中の電子

金属中の自由電子模型では、金属中の電子はフェルミ気体を作ると考えることができる。金属のフェルミエネルギーは、絶対零度の金属中の電子をバンドの底から詰めていき、その数が系の全電子数になったところの電子のエネルギーである。

金属や半金属、縮退半導体では、 E_F は非局在バンドの中にある。 E_F 近くの多数の状態は熱的に活性で、容易に電流を運ぶ。

金属の伝導電子の数密度 $N/V$

GaAs/AlGaAsヘテロ接合高電子移動度トランジスタのバンド図における伝導バンド端E_Cの変化の例

ζ は活性な電荷キャリアの数とその運動エネルギーと直接的に関係している。よってそれらは（電気伝導率など）物質の局所的特性に直接関与している。このため単一で均一な導電性物質での電子の特性に集中するとき、ζ の値に焦点を当てるのが一般的である。自由電子のエネルギー状態との類似性より、状態の ℰ はその状態の運動エネルギーであり、ε_C はポテンシャルエネルギーである。この点を考慮して、パラメータ ζ は「フェルミ運動エネルギー」と名前をつけることもできる。

μ とは違い、熱平衡状態においてもパラメータ ζ は物質中で一定ではない。ε_C は物質の質や不純物/ドーパントのような因子によって変化するため、物質中の位置によって μ は異なる。半導体や半金属の表面近くでは、電界効果トランジスタのように、ζ は外部から加えられた電場によって強く支配される。マルチバンド材料では、ζ は単一の場所でも複数の値をとり得る。たとえばアルミニウム金属片では、フェルミ準位を横切る2つの伝導バンドが存在する（その他の材料では更に多くバンドが存在する）。各バンドに対応してそれぞれ異なるバンド端エネルギー ε_C と異なる ζ が存在する。

絶対零度での ζ の値は広くフェルミエネルギーと呼ばれており、ζ₀ と書くことがある。しかし、紛らわしいことに「フェルミエネルギー」という言葉が絶対零度でないときの ζ を示すときに使われることもある。

フェルミ準位と電圧

電圧計は電気素量で割ったフェルミ準位の差を測定する

フェルミ準位の差は電圧計で簡単に測定することができる。

電流は静電ポテンシャル（ガルバニ電位）の差が駆動力であると言われることがあるが、厳密には正しくない。その反例として、pn接合などのマルチ材料デバイスは平衡において内部静電ポテンシャル差を持っているが正味の電流は生じず、電圧計を接続しても 0 V である。明らかに静電ポテンシャルは物質中の電荷の流れを決める因子の一つに過ぎず、パウリ反発、キャリア濃度勾配、電磁誘導、熱的効果なども重要な役割を果たしている。

実際、電子回路で測定される「電圧」と呼ばれる量は、電子の化学ポテンシャル（フェルミ準位）と単純な関係にある。電圧計のリード線が回路中の2点に接続されたときに表示される電圧は、単位電荷が一方の点からもう一方の点に移動したときに移動する「全」仕事の測定値である。単純なワイヤーが電圧の異なる2点間に接続されたとき（短絡が起きる）、電圧が正から負の方向に電流が流れ、仕事が熱に変換される。

物質のフェルミ準位は、電子をつけ加えるのに必要な仕事、または電子を取り除いたときに得られる仕事を表す。よって電子回路中の2点 A, B 間の測定される電圧差 V_A − V_B は、フェルミ準位で対応する化学ポテンシャル差 µ_A − µ_B と次の式で厳密に関係づけられる。

$V_{\mathrm {A} }-V_{\mathrm {B} }={\frac {\mu _{\mathrm {A} }-\mu _{\mathrm {B} }}{-e}}$ カテゴリツリー

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