デーンの半ユークリッド幾何
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/21 05:10 UTC 版)
「デーン平面」の記事における「デーンの半ユークリッド幾何」の解説
いま、 Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)} の元 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} によって ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} と表される全ての元からなる集合に、次のような通常の計量 ‖ ( x , y ) ‖ = x 2 + y 2 {\displaystyle \|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} を入れたものを考える。ここで ‖ ( x , y ) ‖ {\displaystyle \|(x,y)\|} は Ω ( t ) {\displaystyle \Omega (t)} に値を取ることに注意。この空間はユークリッド幾何のモデルを与える。平行線公準はこのモデルに於いて真である。すなわち、1つの直線に2本の直線が交わり、同じ側にある内角の和が2直角よりも小さいならば、2本の直線はその側で交わる。他方、もしその内角和と2直角との誤差が無限小（どんな正の有理数よりも小さいことを意味する）ならば、その2つの直線の交点は、平面の有限でない点で交わる。すなわち、もしこのモデルを平面の有限部分（つまり ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} で x , y {\displaystyle x,y} がともに有限である点）に制限したならば、平行線公準を破りつつ、三角形の内角の和が π {\displaystyle \pi } であるような幾何学が得られる。これがデーンの半ユークリッド幾何である。これはRucker (1982, page 98)で論じられている。
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