「ダランベールの定理 」はこの項目へ転送されています。古典力学における慣性力の扱いに関する原理については「ダランベールの原理 」をご覧ください。
ダランベールの収束判定法 （ダランベールのしゅうそくはんていほう、ratio test）とは、実数 や複素数 を項 にもつ級数 が、収束 するか発散 するかを判定する方法である。級数における、前後の項の比 を考える。もし、この比の極限 が 1 未満であれば、級数は絶対収束 する。
この判定法は、ジャン・ル・ロン・ダランベール によって発表された。
厳密には、ダランベールの収束判定法は、次のように述べられる。
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
<
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}
であれば、級数
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
は絶対収束する。また、
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
>
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}
であれば、級数は発散する。
もし、極限がちょうど 1 であれば、級数は収束する場合もあるし、発散する場合もある。従って、この場合は、ダランベールの収束判定法ではどちらとも言えない。
まず基本的な級数であるべき級数
∑
n
=
1
∞
z
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}}
は
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
z
n
+
1
/
z
n
|
=
|
z
|
<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|z^{n+1}/z^{n}\right|\\&=|z|<1\end{aligned}}}
これをモデルケースとして覚えればこの収束判定法も覚えやすい。
次の級数を考える。
∑
n
=
1
∞
n
e
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}
これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
n
+
1
e
n
+
1
n
e
n
|
=
lim
n
→
∞
|
(
1
+
1
n
)
1
e
|
=
1
e
<
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {n+1}{e^{n+1}}}\;}{\dfrac {n}{e^{n}}}}\right|\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\left(1+{\frac {1}{n}}\right){\frac {1}{e}}\right|\\&={\frac {1}{e}}<1\end{aligned}}}
1 / e 1 より小さいため、級数は収束する。
次の級数を考える。
∑
n
=
1
∞
e
n
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}}
これに、ダランベールの収束判定法を適用すると、
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
|
e
n
+
1
n
+
1
e
n
n
|
=
lim
n
→
∞
|
1
1
+
1
n
e
|
=
e
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {e^{n+1}}{n+1}}\;}{\;{\dfrac {e^{n}}{n}}\;}}\right|\\&=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{1+{\dfrac {1}{n}}}}e\right|\\&=e>1\end{aligned}}}
e は1 より大きいため、級数は発散する。
もし、級数が
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}
を満たす場合、ダランベールの判定条件から、収束するか発散するかを推定することは不可能である。
例えば、級数
∑
n
=
1
∞
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}
は発散し、
lim
n
→
∞
|
1
1
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1}
である。一方で、
∑
n
=
1
∞
1
n
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
は絶対収束するが、
lim
n
→
∞
|
1
(
n
+
1
)
2
1
n
2
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {1}{(n+1)^{2}}}\;}{\dfrac {1}{n^{2}}}}\right|=1}
である。最後に、
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}}
は条件収束 するが、
lim
n
→
∞
|
(
−
1
)
n
+
1
n
+
1
(
−
1
)
n
n
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\;{\dfrac {(-1)^{n+1}}{n+1}}\;}{\dfrac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1}
である。
ダランベールの判定法で収束判定出来るなら絶対収束なのでこの結果はある意味当然である。これは交代級数に関するライプニッツの定理ないしその一般化であるディリクレの収束判定法により条件収束性がわかる。
以上の例で見たとおり、比の極限が1 である場合は、ダランベールの収束判定法ではどちらとも言えない。しかし、ラーベによるダランベールの収束判定法の拡張（ラーベの収束判定法 ）では、このような場合を扱うことも考慮に入れることができる。ラーベの収束判定法は、次のように述べられる。もし、
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=1}
で、かつ正数c が存在して
lim
n
→
∞
n
(
|
a
n
+
1
a
n
|
−
1
)
=
−
1
−
c
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|-1\right)=-1-c}
を満たす場合、級数は絶対収束する。
より精密な判定法としてクンマー の判定法がある。
なお、2021年現在においてどのような級数の収束も判定できる判定法というものは見つかっていない。実際に、最近(2023年[ 1]
∑
n
=
1
∞
1
n
3
sin
2
(
n
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}(n)}}}
というものがある。
Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis , fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3
^ “Finding on Convergence of the Flint Hills and Cookson Hills Series based on a Summation Formula of Adamchik and Srivastava involving the Riemann Zeta Function ”. 2025年4月18日閲覧。
