シャプレー＝フォークマン補題

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シャプレー＝フォークマン補題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/08/15 02:08 UTC 版)

シャープレー＝フォークマン補題は4つの集合のミンコフスキー加法によって図示されている。右側の4つの非凸集合のミンコフスキー和の凸包内の「＋」記号は、左側の集合からの4つの「＋」記号の和であり、そのうち2つは非凸集合内の点、残り2つは凸包内の点である。凸包はピンク色に塗られており、元の集合には赤い点が2つずつ含まれている。

シャープレー＝フォークマン補題（シャープレー＝フォークマンほだい、英: Shapley–Folkman lemma）は、ベクトル空間における集合のミンコフスキー加法を記述する凸幾何学における結果である。この補題は直感的には「和を取る集合の数がベクトル空間の次元を超える場合、そのミンコフスキー和はおおよそ凸になる」と理解できる。名称は数学者のロイド・シャープレーとジョン・フォークマンに由来するが、初めて発表したのは経済学者のロス・スターである。

関連する結果として、この近似がどの程度正確かについてより精緻な記述を与えるものがある。例えば、シャープレー＝フォークマン定理は、ミンコフスキー和の任意の点とその凸包との距離に対する上界を与える。この上界はシャープレー＝フォークマン＝スター定理（またはスターの系）によってさらに鋭くなる。

シャープレー＝フォークマン補題は経済学、数理最適化、確率論に応用がある。経済学においては、凸選好について証明された結果を非凸選好に拡張するために用いることができる。最適化理論においては、多くの関数の和として表される最小化問題が成功裏に解ける理由を説明するために用いられる。確率論においては、確率幾何学における大数の法則を証明するために用いられる。

例

集合は、それに属する任意の2点を結ぶ線分がその集合の部分集合である場合、凸集合であるという。充実した単位円板 $\bullet$ カテゴリ