確率論 におけるコルモゴロフの三級数定理 (コルモゴロフのさんきゅうすうていり、英 : Kolmogorov's Three-Series Theorem )は、確率変数 の無限級数 が概収束 するかどうかの判定条件を確率分布 に関連した3つの級数の収束性に基づいて述べるものである。名称はアンドレイ・コルモゴロフ にちなむ。コルモゴロフの三級数定理をクロネッカーの補題 と組み合わせると、大数の強法則 の比較的易しい証明が得られる[ 1] 。
定理の主張
(
X
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
を独立 な実数値確率変数列とする。級数
∑
n
=
1
∞
X
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}
が確率1で有限値に収束するための必要十分条件は、ある
A
>
0
{\displaystyle A>0}
に対し以下の3条件が成り立つことである。
確率の級数
∑
n
=
1
∞
P
(
|
X
n
|
≥
A
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {P} (|X_{n}|\geq A)}
が収束する。
Y
n
=
X
n
1
{
|
X
n
|
≤
A
}
{\displaystyle Y_{n}=X_{n}\mathbf {1} \{|X_{n}|\leq A\}}
とおくと
Y
n
{\displaystyle Y_{n}}
の期待値 の級数
∑
n
=
1
∞
E
[
Y
n
]
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {E} [Y_{n}]}
が収束する。
分散 の級数
∑
n
=
1
∞
V
a
r
(
Y
n
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {Var} (Y_{n})}
が収束する。
十分性
(i) とボレル・カンテリの補題 より、確率1で十分大きな
n
{\displaystyle n}
に対して
X
n
=
Y
n
{\displaystyle X_{n}=Y_{n}}
となる。よって
∑
n
=
1
∞
X
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}
が概収束することと
∑
n
=
1
∞
Y
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Y_{n}}
が概収束することは同値である。条件 (ii),(iii) とコルモゴロフの二級数定理 より、
∑
n
=
1
∞
Y
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Y_{n}}
の収束性が言える。
必要性
∑
n
=
1
∞
X
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }X_{n}}
が確率1で有限値に収束するとき、
A
=
1
{\displaystyle A=1}
に対し条件 (i),(ii),(iii) が成り立つことを証明する。
もし (i) が成り立たないとすると、ボレル・カンテリの補題より、無限に多くの
n
{\displaystyle n}
に対し
{
|
X
n
|
≥
1
}
{\displaystyle \{|X_{n}|\geq 1\}}
となる確率が1である。ところがこれは級数の収束に反するから、(i) は成り立たないといけない。
条件 (iii) が成り立つなら条件 (ii) が成り立つことは次のようにしてわかる:
コルモゴロフの二級数定理から
∑
n
=
1
∞
(
Y
n
−
E
[
Y
n
]
)
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(Y_{n}-\mathrm {E} [Y_{n}])}
は概収束する。また条件 (i) より
∑
n
=
1
∞
Y
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Y_{n}}
も概収束する。
よって
∑
n
=
1
∞
E
[
Y
n
]
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {E} [Y_{n}]}
は有限値に収束しなければいけない。
ここで各
n
{\displaystyle n}
に対し
Y
n
{\displaystyle Y_{n}}
と
Y
n
′
{\displaystyle Y'_{n}}
が独立同分布 になるよう確率変数列の複製を作り、
∑
n
=
1
∞
Z
n
=
∑
n
=
1
∞
(
Y
n
−
Y
n
′
)
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Z_{n}=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(Y_{n}-Y'_{n})}
とおく。各項
(
Y
n
−
Y
n
′
)
{\displaystyle (Y_{n}-Y'_{n})}
は期待値が0で、絶対値が常に2以下であるので、マルチンゲール の一般論より
∑
n
=
1
∞
Z
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }Z_{n}}
が確率1で有限値に収束
⇒
∑
n
=
1
∞
V
a
r
(
Z
n
)
<
∞
{\displaystyle \Rightarrow \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {Var} (Z_{n})<\infty }
が成り立つ(より一般には、級数の各項の期待値が0、各項の分散が常に有限値として存在、各項の絶対値が項番 n にも確率空間の元 ω にもよらない定数で抑えられている、の3つの前提が満たされていれば、この論理包含が成り立つ)。
今、
Z
n
{\displaystyle Z_{n}}
の作り方からこの前件が成り立ち、さらに
V
a
r
(
Z
n
)
=
2
V
a
r
(
Y
n
)
{\displaystyle \mathrm {Var} (Z_{n})=2\mathrm {Var} (Y_{n})}
だから、条件 (iii) が証明された[ 2] [ 3] [ 4] 。
例
定理の例示として、符号がランダムな「調和級数 」:
∑
n
=
1
∞
±
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{n}}}
を考える。ここで "
±
{\displaystyle \pm }
" は、各項
1
/
n
{\displaystyle 1/n}
の符号が独立かつ等確率(1/2, 1/2)で正または負となることを意味するものとする。
X
n
{\displaystyle X_{n}}
を 1/2 ずつの確率で
1
/
n
{\displaystyle 1/n}
または
−
1
/
n
{\displaystyle -1/n}
の値をとる確率変数とする。
A
=
2
{\displaystyle A=2}
とすると級数の値は順に (i) 0, (ii) 0, (iii)
∑
n
=
1
∞
V
a
r
(
X
n
)
=
∑
n
=
1
∞
n
−
2
<
∞
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {Var} (X_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-2}<\infty }
となって定理の仮定が全て満たされるため、このランダムな調和級数は概収束する。
一方、例えば「逆数の和」を「逆数の正の平方根 」に代えて同様の確率的な級数
∑
n
=
1
∞
±
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}}}
を作ると、定理の条件 (iii) が満たされず、確率1で発散する。注意すべきことに、確率的でない交項級数
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
/
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}/{\sqrt {n}}}
は収束する。
脚注
^ Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005, Section 1.8, pp. 60–69.
^ Sun, Rongfeng. Lecture notes. http://www.math.nus.edu.sg/~matsr/ProbI/Lecture4.pdf
^ M. Loève, "Probability theory", Princeton Univ. Press (1963) pp. Sect. 16.3
^ W. Feller, "An introduction to probability theory and its applications", 2, Wiley (1971) pp. Sect. IX.9