ゲルフォント＝シュナイダーの定理 (ゲルフォント゠シュナイダーのていり、英 : Gelfond–Schneider's theorem ) は、指数関数 の値の超越性に関する定理である。1934年 に、アレクサンドル・ゲルフォント（ロシア語版 、英語版 ） とテオドール・シュナイダー（ドイツ語版 、英語版 ） によって、それぞれ独立に証明された。
α
{\displaystyle \alpha }
代数的数 、β を有理数 ではない代数的数としたとき、
α
β
{\displaystyle \alpha ^{\beta }}
超越数 である。
系1
α
1
,
α
2
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}
log
α
1
/
log
α
2
{\displaystyle \log \alpha _{1}/\log \alpha _{2}}
系2
α
1
,
α
2
,
β
1
,
β
2
{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2}}
log
α
1
,
log
α
2
{\displaystyle \log \alpha _{1},\log \alpha _{2}}
有理数体 上線形独立 であるならば、
β
1
log
α
1
+
β
2
log
α
2
≠
0
{\displaystyle \beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}\neq 0}
ゲルフォント゠シュナイダーの定理を用いて、以下の数が超越数であることが示される。
2
2
{\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}
オンライン整数列大辞典 の数列 A007507 )
2
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}
オンライン整数列大辞典 の数列 A078333 )
e
π
(
=
(
−
1
)
−
i
)
{\displaystyle e^{\pi }\ (=(-1)^{-i})}
ゲルフォントの定数 とよばれる。(オンライン整数列大辞典 の数列 A039661 )有理数ではない代数的数
α
{\displaystyle \alpha }
sin
α
π
{\displaystyle \sin {\alpha \pi }}
cos
α
π
{\displaystyle \cos {\alpha \pi }}
tan
α
π
{\displaystyle \tan {\alpha \pi }}
i
α
{\displaystyle i\alpha }
α
{\displaystyle \alpha }
sinh
α
π
{\displaystyle \sinh {\alpha \pi }}
cosh
α
π
{\displaystyle \cosh {\alpha \pi }}
tanh
α
π
{\displaystyle \tanh {\alpha \pi }}
乗法的独立[ 1]
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\ \beta }
log
α
/
log
β
{\displaystyle \log {\alpha }/\log {\beta }}
ダフィット・ヒルベルト は、1900年 にパリで行われた国際数学者会議 において、ヒルベルトの23の問題 と呼ばれる23個の問題のうち、7番目の問題（英語版 ） として、「a が 0 でも 1 でもない代数的数 で、b が代数的無理数 であるとき、a b 超越数 であるか」を提出した。
その後、1929年 に、アレクサンドル・ゲルフォント（英語版 ） によって、β が虚二次体 の場合に、
α
β
{\displaystyle \alpha ^{\beta }}
e
π
{\displaystyle e^{\pi }}
その直後、ゲルフォントの方法を元にして、カール・ジーゲル は、β が実二次体の場合に成り立つことを示したが、発表はされなかった。翌年（1930年 ）、ロディオン・クズミン（英語版 ） は、ゲルフォントの方法に基づいて、同じ結果を発表した。
1934年に、ゲルフォントとテオドール・シュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。 この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。 ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想 の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。
ゲルフォント゠シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが（系2）、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカー によって、1966年 に発表された（ベイカーの定理 を参照）。
^ 整数
k
,
l
{\displaystyle k,\ l}
α
k
β
l
=
1
{\displaystyle \alpha ^{k}\beta ^{l}=1}
k
=
l
=
0
{\displaystyle k=l=0}
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\ \beta }
杉浦, 光夫編『ヒルベルト 23の問題』日本評論社 、東京、1997年。 塩川, 宇賢『無理数 と超越数 』森北出版 、東京、1999年。 I., Niven (1956). Irrational numbers, The Carus Math. Monog. . Washington: Math. Assoc. of America
