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クリフォード代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/04 17:19 UTC 版)

数学において、クリフォード代数 (クリフォードだいすう、英: Clifford algebra) は結合多元環の一種である。 $K$ -代数として、それらは実数、複素数、四元数、そしていくつかの他の超複素数系を一般化する^[1]^[2]。クリフォード代数の理論は二次形式と直交変換の理論と密接な関係がある。クリフォード代数は幾何学、理論物理学、デジタル画像処理を含む種々の分野において重要な応用を持つ。イギリス人幾何学者ウィリアム・キングドン・クリフォード（英語版）にちなんだ名称である。

脚注

注釈

^ 実クリフォード代数を扱い正定値二次形式を好む数学者（特に指数理論の研究者）は基本的なクリフォード恒等式 (the fundamental Clifford identity) において異なった符号の規約を用いることがある。つまり、彼らは $v 2 = - Q (v)$ を取る。もう一方の規約へと移るときは、 $Q$ を $-Q$ で置き換えなければならない。
^ したがって群環 $K [Z /2]$ は半単純でありクリフォード代数は主対合の固有空間に分解する。
^ Z-次数付けは N 次数付けから負の整数で添え字づけられた零部分空間のコピーを追加することによって得られる。
^ 技術的には、指定されたベクトル部分空間なしにはそれはクリフォード代数の完全な構造を持たない。
^ なお標数は 2 でないことを仮定している。
^ 代わりに (−) の規約を用いるときは、逆に共役がより基本的となる。一般に、共役と転置の意味は一方の符号の規約からもう一方へと移るときに交換される。例えば、ここで使われる慣習ではベクトルの逆は $v -1 = v t / Q (v)$ によって与えられ、一方 (−) 規約では $v -1 = v / Q (v)$ によって与えられる。

出典

^ Clifford, W. K. (1873), “Preliminary sketch of bi-quaternions”, Proc. London Math. Soc. 4: 381–395
^ Clifford, W. K. (1882), Tucker, R., ed., Mathematical Papers, London: Macmillan
^ 例えば Oziewicz, Z.; Sitarczyk, Sz. (1992), “Parallel treatment of Riemannian and symplectic Clifford algebras.”, in Micali, Artibano; Boudet, Roger; Helmstetter, Jacques, Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-1623-1
^ Lounesto 2001, §1.8.
^ J. M. McCarthy, An Introduction to Theoretical Kinematics, pp. 62–5, MIT Press 1990.
^ O. Bottema and B. Roth, Theoretical Kinematics, North Holland Publ. Co., 1979
^ Lounesto 2001, §17.2.
^ See the references to Schönberg's papers of 1956 and 1957 as described in section "The Grassmann–Schönberg algebra $G_{n}$ " of:A. O. Bolivar, Classical limit of fermions in phase space, J. Math. Phys. 42, 4020 (2001) doi:10.1063/1.1386411
^ Conte, Elio (2002). "A Quantum Like Interpretation and Solution of Einstein, Podolsky, and Rosen Paradox in Quantum Mechanics". pp. 271–304. arXiv:0711.2260 [quant-ph]。不明な引数|url=は無視されます。 (説明)
^ Elio Conte: On some considerations of mathematical physics: May we identify Clifford algebra as a common algebraic structure for classical diffusion and Schrödinger equations? Adv. Studies Theor. Phys., vol. 6, no. 26 (2012), pp. 1289–1307
^ Rodriguez, Mikel; Shah, M (2008). "Action MACH: A Spatio-Temporal Maximum Average Correlation Height Filter for Action Classification". Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR).