クリフォードスカラー積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2020/09/06 10:18 UTC 版)
「クリフォード代数」の記事における「クリフォードスカラー積」の解説
標数が 2 でないとき、V 上の二次形式 Q は Cℓ(V, Q) のすべての上の二次形式に拡張することができる(これも Q によって表記する)。1 つのそのような拡張の基底に依存しない定義は Q ( x ) = ⟨ t x x ⟩ {\displaystyle Q(x)=\langle {}^{t}\!xx\rangle } ただし ⟨ a ⟩ {\displaystyle \langle a\rangle } は a のスカラー部分(Z-次数付けにおいて次数 0 の部分)を表記する。 Q ( v 1 v 2 ⋯ v k ) = Q ( v 1 ) Q ( v 2 ) ⋯ Q ( v k ) {\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})} を示すことができる、ただし vi は V の元である – この恒等式は Cℓ(V, Q) の任意の元に対しては正しく「ない」。 Cℓ(V, Q) 上の伴う対称双線型形式は ⟨ x , y ⟩ = ⟨ t x y ⟩ {\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle {}^{t}\!xy\rangle } によって与えられる。これは V に制限されたときにもとの双線型形式に戻ることを確認できる。 Cℓ(V, Q) のすべての上の双線型形式が非退化であることとそれが V 上非退化であることは同値である。 転置はこの内積に関して左/右クリフォード乗法の随伴であることを証明するのは難しくない。つまり、 ⟨ a x , y ⟩ = ⟨ x , t a y ⟩ , {\displaystyle \langle ax,y\rangle =\langle x,{}^{t}\!ay\rangle ,} および ⟨ x a , y ⟩ = ⟨ x , y t a ⟩ . {\displaystyle \langle xa,y\rangle =\langle x,y{}^{t}\!a\rangle .}
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