カッツ・ムーディ・リー環のルート空間分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/24 00:04 UTC 版)
「カッツ・ムーディ代数」の記事における「カッツ・ムーディ・リー環のルート空間分解」の解説
h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} はカッツ・ムーディ・リー環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} に対するカルタン部分環の類似である。 x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} が g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元であって、ある λ ∈ h ∗ ∖ { 0 } {\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}\setminus \{0\}} に対して ∀ h ∈ h , [ h , x ] = λ ( h ) x {\displaystyle \forall h\in {\mathfrak {h}},\,[h,x]=\lambda (h)x} を満たすならば、x をルートベクトルと呼び、 λ {\displaystyle \lambda } を g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のルートと呼ぶ。（慣習により零汎関数はルートとは考えない。） g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} のすべてのルートの集合をしばしば Δ {\displaystyle \Delta } で、あるいはときどき R {\displaystyle R} で記す。与えられたルート λ {\displaystyle \lambda } に対し、 g λ {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }} によって λ {\displaystyle \lambda } のルート空間を表す。すなわち g λ = { x ∈ g : ∀ h ∈ h , [ h , x ] = λ ( h ) x } . {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\lambda }=\{x\in {\mathfrak {g}}:\forall h\in {\mathfrak {h}},[h,x]=\lambda (h)x\}.} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の定義関係式より e i ∈ g α i {\displaystyle e_{i}\in {\mathfrak {g}}_{\alpha _{i}}} と f i ∈ g − α i {\displaystyle f_{i}\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha _{i}}} が従う。また、 x 1 ∈ g λ 1 {\displaystyle x_{1}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}}} かつ x 2 ∈ g λ 2 {\displaystyle x_{2}\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}}} であれば、ヤコビ恒等式より [ x 1 , x 2 ] ∈ g λ 1 + λ 2 {\displaystyle [x_{1},x_{2}]\in {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}+\lambda _{2}}} である。 理論の基本的な結果は、任意のカッツ・ムーディ・リー環は h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} とルート空間たちの直和に分解できるということ、すなわち、 g = h ⊕ ⨁ λ ∈ Δ g λ {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\lambda \in \Delta }{\mathfrak {g}}_{\lambda }} であることと、すべてのルート λ {\displaystyle \lambda } はすべての z i {\displaystyle z_{i}} を同じ符号の整数として λ = ∑ i = 1 n z i α i {\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{n}z_{i}\alpha _{i}} と書けるということである。
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