もともとの導出方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/10 15:35 UTC 版)
「クニーズニク・ザモロドチコフ方程式」の記事における「もともとの導出方法」の解説
Tsuchiya & Kanie (1988)により再現された Knizhnik & Zamolodchikov (1984) のもともとの証明は、上の二つを結合した方法を使っている。まず注意することは、 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の元 X に対し、 ⟨ X ( z ) Φ ( v 1 , z 1 ) ⋯ Φ ( v n , z n ) ⟩ = ∑ j ⟨ Φ ( v 1 , z 1 ) ⋯ Φ ( X v j , z j ) ⋯ Φ ( v n , z n ) ⟩ ( z − z j ) − 1 {\displaystyle \left\langle X(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =\sum _{j}\left\langle \Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (Xv_{j},z_{j})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (z-z_{j})^{-1}} となることである。従って、 ∑ s ⟨ X s ( z ) Φ ( z 1 , v 1 ) ⋯ Φ ( X s v i , z i ) ⋯ Φ ( v n , z n ) ⟩ = ∑ j ∑ s ⟨ ⋯ Φ ( X s v j , z j ) ⋯ Φ ( X s v i , z i ) ⋯ ⟩ ( z − z j ) − 1 {\displaystyle \sum _{s}\langle X_{s}(z)\Phi (z_{1},v_{1})\cdots \Phi (X_{s}v_{i},z_{i})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\rangle =\sum _{j}\sum _{s}\langle \cdots \Phi (X_{s}v_{j},z_{j})\cdots \Phi (X_{s}v_{i},z_{i})\cdots \rangle (z-z_{j})^{-1}} を得る。一方、 ∑ s X s ( z ) Φ ( X s v i , z i ) = ( z − z i ) − 1 Φ ( ∑ s X s 2 v i , z i ) + ( k + g ) ∂ ∂ z i Φ ( v i , z i ) + O ( z − z i ) {\displaystyle \sum _{s}X_{s}(z)\Phi \left(X_{s}v_{i},z_{i}\right)=(z-z_{i})^{-1}\Phi \left(\sum _{s}X_{s}^{2}v_{i},z_{i}\right)+(k+g){\partial \over \partial z_{i}}\Phi (v_{i},z_{i})+O(z-z_{i})} であるので、 ( k + g ) ∂ ∂ z i Φ ( v i , z i ) = lim z → z i [ ∑ s X s ( z ) Φ ( X s v i , z i ) − ( z − z i ) − 1 Φ ( ∑ s X s 2 v i , z i ) ] {\displaystyle (k+g){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\Phi (v_{i},z_{i})=\lim _{z\to z_{i}}\left[\sum _{s}X_{s}(z)\Phi \left(X_{s}v_{i},z_{i}\right)-(z-z_{i})^{-1}\Phi \left(\sum _{s}X_{s}^{2}v_{i},z_{i}\right)\right]} となる。 結果は、前の等式のこの極限を使うことにより得られる。
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