iのi乗 iのi乗の概要

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iのi乗

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/04 15:37 UTC 版)

$i^{i}=e^{-(4n+1)\pi /2}$

と書ける（n は任意の整数）。n = 0 としたとき、iⁱ は主値

$e^{-\pi /2}=0.20787957\ldots$

を取る（オンライン整数列大辞典の数列 A49006）。

計算の方法

まず i の偏角は（ラジアンで） π/2 + 2nπ（n は任意の整数）であることに注意する。

$i^{i}=e^{i\log i}$

（ただし log は複素対数函数（多価関数））であり、log i は

$\log i=\ln |i|+i\arg i=\ln 1+i\left({\frac {\pi }{2}}+2n\pi \right)=i\left({\frac {\pi }{2}}+2n\pi \right)$

（ただし ln は（実の）自然対数）であるので

$i^{i}=e^{i\cdot i\left(\pi /2+2n\pi \right)}=e^{-\left(\pi /2+2n\pi \right)}=e^{-(4n+1)\pi /2}$

と計算される。n = ... , −2, −1, 0, 1, 2, ...　とおくと

$i^{i}=\ldots ,\,e^{7\pi /2},\,e^{3\pi /2},\,e^{-\pi /2},\,e^{-5\pi /2},\,e^{-9\pi /2},\ldots$

となる。主値は冒頭の通り n = 0 のときの e^−π/2 である。

数学的性質

iⁱ の取る値はどれも正の実数であるが、e^{−(π/2 + 2nπ)} の整数 n を適当に小さくとれば、どんな実数よりも大きな数になり、逆に n を大きくとれば、どんな正の実数よりも小さな数になる。したがって iⁱ には最大値も最小値も存在しない。

iⁱ の主値 e^−π/2 は

$e^{-\pi /2}=e^{(i/2)\operatorname {Log} (-1)}=(-1)^{i/2}$

であるから、ゲルフォント＝シュナイダーの定理より、超越数であるため、無理数である。同様に他の iⁱ の値も超越数である。

なお (−i)⁻ⁱ も

$(-i)^{-i}=e^{-i\log(-i)}=e^{-(\pi /2-2n\pi )}$

なので、(−i)⁻ⁱ = iⁱ である。

テトレーション $i^{i^{.^{.^{i}}}}$ の極限は実数ではない複素数に収束する (Macintyre 1966)。

${\begin{aligned}i^{i^{i^{.^{.^{.}}}}}&=\lim _{n\to \infty }{i\rightarrow n\rightarrow 2}\\&=\lim _{n\to \infty }{i\uparrow \uparrow n}=\lim _{n\to \infty }{(i\uparrow )^{n}i\uparrow i}\\&=-{\frac {W(-\log i)}{\log i}}={\frac {2i}{\pi }}\,W{\Bigl (}{-{\frac {\pi }{2}}i}{\Bigr )}\\&\approx 0.438283+0.3605924\cdot i.\end{aligned}}$

ただし、W はランベルトのW関数である。