テトレーション
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/06/30 07:54 UTC 版)
定義
任意の正の実数 a > 0 および非負整数 n ≥ 0 に対し、次のようにテトレーション na を再帰的に定める。
冪乗の演算が右結合、すなわち 101010 のように積みあがった指数の上側から計算していくように、テトレーションの計算も na に対する n の部分から計算していく。
定義から直ちに、次の等式が成り立つ。
a と 10 が互いに素であるとき、na の最後の d 桁がオイラーの定理から求められる。
表記
テトレーションには多数の表記が存在する。テトレーションに使われる表記の中にはペンテーションやヘキセーションなど、より高次のハイパー演算の表記にも使用できるものもいくつかある。
名称 表記 説明 ルーディ・ラッカーの表記 マウラー[2][3]とグッドスタイン[1]によって導入され、ルーディ・ラッカーの『無限と心』で広まった。 クヌースの矢印表記 矢印または添字を増やすことで拡張できる。 コンウェイのチェーン表記 数字を増やす、またはチェーンを拡張することで拡張できる。 アッカーマン関数 底が 2 のときに限り、アッカーマン関数による表記が可能。 指数関数の反復合成による表示 右辺の表記に関しては後述。 フーシュマンドの表記 フーシュマンドの論文では「ultra power」(超冪)と書かれている[4]。 ハイパー演算子表記
数字を増やすことで拡張でき、一連のハイパー演算子を与える。 ASCII表記 a^^n
ASCII文字で表現する際、冪乗をキャレット ^
で表すことから。バウアーズの配列表記 拡張配列表記へと一般化でき、さらにBEAFおよびバードの配列表記へと一般化される[5]。
反復指数関数
反復指数関数(英: iterated exponential function)、あるいは反復冪(英: iterated exponential)とは指数関数の反復合成、あるいはその類似の関数およびその値を指して呼ばれる関数である[6][7]。以降で表記を簡単にするため、非負整数 n と正実数 a の2つのパラメータを持つ実関数 を次のように定義する:
- (n 個の a の上に x が乗っている)
この関数は他に次のような表記で書かれる。
名称 表記 説明 (指数の反復合成) 指数関数の表記 はオイラーによる。 クヌースの矢印表記 矢印の数を増やすことで拡張できる。en:Large numbersを参照。 ガリダキスの表記 底の表記が小さくならない[8]。 ASCII表記 exp_a^n(x)
標準的な表記をベースにASCII文字のみを使用した表記。 J言語表記[9] x^^:(n-1)x
注記
出典
- ^ a b Goodstein, R. L. (1947). “Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory”. The Journal of Symbolic Logic 12 (4): 123–129. doi:10.2307/2266486. ISSN 0022-4812 .
- ^ Maurer, Hans (1901). “Über die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen)”. Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4: 33–50.
- ^ Knoebel, R. Arthur (1981). “Exponentials Reiterated”. The American Mathematical Monthly 88 (4): 235–252. doi:10.2307/2320546. ISSN 0002-9890 .
- ^ Hooshmand, M. H. (2006-08-01). “Ultra power and ultra exponential functions”. Integral Transforms and Special Functions 17 (8): 549–558. doi:10.1080/10652460500422247. ISSN 1065-2469 .
- ^ “Exploding Array Function”. Jonathan Bowers. 2021年7月30日閲覧。
- ^ Daniel B. Shapiro and S. David Shapiro (2007). “Iterated Exponents in Number Theory” (pdf). Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 7 (A23) 2021年7月30日閲覧。.
- ^ Jekusiel Ginsburg (1945). “Iterated Exponentials” (pdf). Scripa Mathematica 11: 340–353 2021年7月30日閲覧。.
- ^ Ioannis Galidakis. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals[リンク切れ]
- ^ “Power Verb”. J Vocabulary. J Software. 2011年10月28日閲覧。
- ^ Edward Drake Roe, Jr. (1898). “68”. The American Mathematical Monthly 5: 110. doi:10.2307/2971013 .
- ^ I. N. Galidakis, (2004). “On an Application of Lambert’s W Function to Infinite Exponentials”. Complex Variables Th. Appl. 49: 759–780. doi:10.1080/02781070412331298796. ISSN 0278-1077 .
- ^ Euler, L., "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)
- ^ M. H. Hooshmand, (2006). “Ultra power and ultra exponential functions”. Integral Transforms and Special Functions 17 (8): 549–558. doi:10.1080/10652460500422247.
- ^ Andrew Robbins. Solving for the Analytic Piecewise Extension of Tetration and the Super-logarithm
- ^ W. Paulsen and S. Cowgill (March 2017). “Solving in the complex plane”. Advances in Computational Mathematics: 1-22. doi:10.1007/s10444-017-9524-1 .
- ^ テトレーションおよびその導関数を計算・描画するMathematicaコード
- ^ Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form aa with a irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106-109.
- ^ a b Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E. (1996). “On the Lambert W function” (PostScript). Advances in Computational Mathematics 5: 333. doi:10.1007/BF02124750 .
- ^ BOSTON UNIVERSITY COLLEGE OF ENGINEERING – EFFICIENT SELF-ORGANIZATION OF LARGE WIRELESS SENSOR NETWORKS
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