コーシー問題 コーシー問題の概要

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コーシー問題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/17 05:32 UTC 版)

Rⁿ 上で定義される偏微分方程式と、n − 1 次元の滑らかな多様体 S ⊂ Rⁿ（S はコーシー曲面と呼ばれる）を考える。この場合のコーシー問題は、次を満たす微分方程式の解 u を見つける、という問題である：

${\begin{aligned}u(x)&=f_{0}(x)\qquad &&{\text{for all }}x\in S;\\{\frac {\partial ^{k}u(x)}{\partial n^{k}}}&=f_{k}(x)\qquad &&{\text{for }}k=1,\ldots ,\kappa -1{\text{ and all }}x\in S.\end{aligned}}$

ここで $f_{k}$ は曲面 $S$ 上で定義される、与えられた関数である（それらはまとめてコーシーデータと呼ばれる）。また、n は S への法線ベクトルであり、κ は微分方程式の階数を表す。

コーシー＝コワレフスカヤの定理では、コーシー問題が唯一つの解を持つための条件が述べられている。それらの条件のうち最も重要なものは、偏微分方程式の係数とコーシーデータが実解析関数、という条件である。