電磁ポテンシャル 静的な場のポテンシャル

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電磁ポテンシャル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/24 12:20 UTC 版)

静的な場のポテンシャル

電磁場が静的な場合には、それぞれの方程式から時間微分の項が消えるので方程式が簡単になる。

• ${\boldsymbol {E}}=-\nabla \phi$ : (M0-a)
• $\nabla ^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ : (M2'-a)
• ${\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}$ : (M0-b)
• $-\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {A}})+\nabla ^{2}{\boldsymbol {A}}=-\mu _{0}{\boldsymbol {j}}$ : (M2'-b)

静的な場の方程式は、電場と磁場についてそれぞれ独立な式になる。

(M0-a)と(M2'-a)によって記述される系は静電気学の系そのものである。直ちに、静的な電磁場におけるスカラーポテンシャルφは電位と一致する事が分かる。ここでさらに、後述するゲージ変換によって

• $\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}=0$

と言う条件を付け加えると(M2'-b)は

• $\nabla ^{2}{\boldsymbol {A}}=-\mu _{0}{\boldsymbol {j}}$

となり、スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャル共にポアソン方程式の形になる。

積分で表すとゲージの不定性を除いて以下のように書ける。

$\phi ({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {x}}')}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}'|}}\mathrm {d} ^{3}x'$

${\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {{\boldsymbol {j}}({\boldsymbol {x}}')}{|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}'|}}\mathrm {d} ^{3}x'$

ただし、積分領域としては電荷密度、電流密度が存在する範囲全てである。

この方法を用いてポテンシャルを求める場合には、電荷・電流密度の全領域における分布を知る必要がある（境界条件など、他の条件がある場合にはこの限りではない）。