電磁ポテンシャル

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/24 12:20 UTC 版)

相対論的な記述

相対論的電磁ポテンシャルは次の4元ベクトルで表される。

$A^{\mu }=(\phi /c,{\boldsymbol {A}}),~A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=(-\phi /c,{\boldsymbol {A}})$

これを用いると電磁場の定義式(M0)は

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$

となる。この $F_{\mu \nu }$ 電磁場テンソルと呼ばれる。 Fの成分は、次のように電場と磁場の各軸成分と対応している。

$(E_{1},E_{2},E_{3})/c=(F_{10},F_{20},F_{30}),~(B_{1},B_{2},B_{3})=(F_{23},F_{31},F_{12})$

電磁場テンソルにより、拘束条件(M1)は

$\partial _{\rho }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \rho }+\partial _{\nu }F_{\rho \mu }=0$

となる。

同様に、電磁場の運動方程式(M2)および式(M2')は

$\partial _{\nu }F^{\nu \mu }=-\mu _{0}j^{\mu }$

$\partial _{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }-\partial ^{\mu }(\partial _{\nu }A^{\nu })=-\mu _{0}j^{\mu }$

となる。

^ 「スカラーポテンシャル」、「ベクトルポテンシャル」という言葉は本来は電磁気に限らないものでポテンシャル全般を指す言葉である。物理分野、特に電磁気の関わる領域においてはもっぱら静電ポテンシャルと磁気ポテンシャルを指して用いられる。
^ 条件式(M0-b)には ∇ が登場するので、A は空間方向には可微分であるが、時間方向については何も言っていないので、原理的には時間方向には不連続になるように選ぶ事も可能である。しかし後述するスカラーポテンシャルを導入するとき、時間方向の可微分性を必要とする。以下、空間方向・時間方向双方に対して無限回可微分な A を選んだものとして議論を進める。
^ 名称はルードヴィヒ・ローレンツに由来する。