逆写像

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/01/11 06:25 UTC 版)

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写像

f

とその逆写像

f -1

。たとえば

f

は

a

を

3

に写すから、逆写像

f -1

は

3

を

a

に写す。

函数と呼ばれる種類の写像の逆写像は、逆函数 (inverse function) と呼ばれる。

定義

f

が

X

から

Y

への写像ならば

f -1

は

Y

を

X

へもどす写像である。

「逆元」も参照

写像 $f$ の定義域を集合 $X$ , 値域を集合 $Y$ とする。写像 $f$ が可逆 (invertible) であるとは、 $Y$ を定義域、 $X$ を値域とする写像 $g$ で、条件

f(x)=y\iff g(y)=x

合成写像の逆写像は

(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}

なる式で与えられる。ここで $f$ と $g$ が逆順になっていることに注意。「まず $f$ を施してから $g$ を施す」という操作を取り消すには、「まず $g$ を取り消してから $f$ を取り消す」ようにしなければならない。

たとえば、 $f (x) = 3 x$ および $g (x) = x + 5$ とすると、それらの合成 $g \circ f$ は、まず $3$ -倍してから $5$ を加える函数

(g\circ f)(x)=3x+5

である。この過程を逆にするには、まず $5$ を引いて、そのあと $3$ で割る

(g\circ f)^{-1}(y)={\tfrac {1}{3}}(y-5)

としなければならない。これは $f -1$ ∘ g⁻¹ に等しい。

自己逆性

任意の集合 $X$ に対して、そのうえの恒等写像はそれ自身を逆写像として持つ。つまり

\operatorname {id} _{X}^{-1}=\operatorname {id} _{X}

が成り立つ。もっと一般に、函数 $f : X \to X$ がその逆函数と相等しいための必要十分条件は、合成函数 $f \circ f$ が $id X$ に等しいことである。このような写像は対合と呼ばれる。

注

^ Keisler, H. Jerome. “Differentiation (PDF)”. 2015年1月24日閲覧。 “§ 2.4”
^ Smith, Eggen & St. Andre 2006, p. 202, Theorem 4.9
^ Smith, Eggen & St. Andre 2006, p. 179
^ Thomas 1972, pp. 304–309

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