符号付測度 符号付測度の概要

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符号付測度

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/15 07:26 UTC 版)

定義

符号付測度には、無限大の値を取り得るか否かという点において、わずかに異なる二つの概念が存在する。研究論文や発展的な内容の書物においては、符号付測度は通常、有限の値を取ることのみ許されている。一方、大学生を対象とした教科書などにおいては、それらが無限大の値を取ることも許されていることが少なくない。混乱を避けるために、この記事においては、それら二つの概念をそれぞれ有限符号付測度（finite signed measure）および拡張符号付測度（extended signed measure）と区別して呼ぶことにする。

与えられた可測空間 (X, Σ)、すなわちある集合 X とその上の σ-代数 Σ に対して、定義される拡張符号付測度とは、$\mu (\emptyset )=0$ を満たす σ-加法的な関数

$\mu :\Sigma \to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}$

のことを言う。ここで、$\mu$ が σ-加法的であるとは、Σ 内の任意の互いに素な集合の列 A₁, A₂, ..., A_n に対して、等式

$\mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})$

を満たすことを言う。この定義の帰結として、任意の拡張符号付測度は +∞ あるいは −∞ を値として取り得るが、それらを同時に取ることは出来ないということが分かる。実際、∞ − ∞ は定義されず避ける必要があるためである。

有限符号付測度も、実数の値のみ取り得るという点を除いて、上記と同様に定義することが出来る。すなわち、+∞ あるいは −∞ の値を、有限符号付測度は取らない。

有限符号付測度はベクトル空間を構成する。一方、拡張符号付測度は加法について閉じてさえおらず、そのことがそれらの取り扱いを難しくしている。また、測度は拡張符号付測度の一種であるが、一般的には必ずしも有限符号付測度ではない。

例

ν を空間 (X, Σ) 上の非負の測度とし、可測関数 f:X→ R を、

$\int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty$

を満たすものとする。このとき、Σ 内のすべての A に対して

$\mu (A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu (x)$

で与えられる有限符号付測度が存在する。

この符号付測度は、有限の値しか取り得ない。+∞ も値として取ることが出来るようにするためには、上記の f の絶対可積分性についての仮定を、より弱めた

$\int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty$

という仮定に変える必要がある。ここで、f⁻(x) = max(−f(x), 0) は f の負の部分である。