発散級数 ネールルンド平均

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発散級数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/07 22:36 UTC 版)

ネールルンド平均

p_n は初項 p₀ の正項数列とし、さらに

${\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\to 0$

なるものと仮定する。いま、級数 s を p を使って変形して、

$t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}$

なる加重平均を考えるとき、t_n の n を無限大に飛ばした極限はネールルンド平均 N_p(s) と呼ばれる（ニールス・エリック・ネールルンドに由来）。

ネールルンド平均は正則、線型かつ安定であり、さらに任意の二種類のネールルンド平均は互いに矛盾しない。もっとも重要なネールルンド平均はチェザロ和である。いま、数列 p^k を

$p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}$

で定めれば、k-次のチェザロ和 C_k は

$C_{k}(s)=\mathbf {N} (p^{k})(s)$

で定義されるものである。k ≥ 0 のとき、チェザロ和はネールルンド平均であり、したがって正則、線型かつ互いに無矛盾となる。0-次のチェザロ和 C₀ は通常の和であり、1-次のチェザロ和 C₁ は通常のチェザロ総和法である。チェザロ和について、h > k ならば、C_h は C_k よりも強いという性質がある。