物質微分 対流項

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物質微分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/09/27 03:49 UTC 版)

対流項

移流項における $\nabla \varphi$ は スカラー量の勾配であるが、対流項における $\nabla {\boldsymbol {A}}$ はベクトル量の共変微分である。ベクトル量の対流項 ${\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {A}}$ を $({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\boldsymbol {A}}$ と記述することがあるが、この表示はデカルト座標系でしか等価でないことに注意すべきである（スカラー量の対流項 ${\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \varphi$ については $({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} )\varphi$ と等価である）。

共変微分を使わずに一般の座標系で成り立つ表現としては

${\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {A}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left\{\operatorname {grad} ({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {A}})+\operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {A}}+\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}\times {\boldsymbol {v}}-\operatorname {rot} ({\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {A}})+{\boldsymbol {v}}\,\operatorname {div} {\boldsymbol {A}}-{\boldsymbol {A}}\,\operatorname {div} {\boldsymbol {v}}\right\}$

がある。特に加速度の回転形表示

${\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {|{\boldsymbol {v}}|^{2}}{2}}\right)-{\boldsymbol {v}}\times \operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}$

は重要である。

エディントンのイプシロンを用いた導出

エディントンのイプシロンの性質 ${\begin{aligned}({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})_{i}&=\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\\\sum _{k}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m}&=\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell }\end{aligned}}$ を使えば、 ${\begin{aligned}({\boldsymbol {v}}\times \operatorname {rot} \,{\boldsymbol {v}})_{i}&=\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}v_{j}(\operatorname {rot} \,{\boldsymbol {v}})_{k}\\&=\sum _{jk}\varepsilon _{ijk}v_{j}\sum _{\ell m}\varepsilon _{k\ell m}{\partial \over \partial x_{\ell }}v_{m}\\&=\sum _{j\ell m}(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell })v_{j}{\partial \over \partial x_{\ell }}v_{m}\\&=\sum _{m}\left(v_{m}{\partial \over \partial x_{i}}v_{m}-v_{m}{\partial \over \partial x_{m}}v_{i}\right)\\&=\left(\operatorname {grad} \left({\frac {|{\boldsymbol {v}}|^{2}}{2}}\right)-{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}\right)_{i}\end{aligned}}$ より、 ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}\\&={\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {|{\boldsymbol {v}}|^{2}}{2}}\right)-{\boldsymbol {v}}\times \operatorname {rot} {\boldsymbol {v}}\end{aligned}}$ が得られる。

曲線直交座標系

曲線直交座標系 ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}(q^{1},q^{2},q^{3})$ における対流項 ${\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {A}}$ の $j$ 成分は以下のように与えられる。

$[{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {A}}]_{j}=\sum _{k}\left\{{\frac {v_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{k}}}+{\frac {A_{k}}{h_{k}h_{j}}}\left(v_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{k}}}-v_{k}{\frac {\partial h_{k}}{\partial q^{j}}}\right)\right\}$

ただし、

$h_{k}=\left|{\partial {\boldsymbol {r}} \over \partial q^{k}}\right|={\sqrt {g_{kk}}}$

（$g_{ij}$ は計量テンソル）である。

先で述べたように

$[({\boldsymbol {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\boldsymbol {A}}]_{j}=\sum _{k}v_{k}\left({\frac {1}{h_{k}}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)A_{j}$

とはデカルト座標系 $(h_{1}=h_{2}=h_{3}=1)$ においてのみ等しい。

${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {v}}$ とした時の物質微分(＝加速度)の対流項に現れる第2項

$\sum _{k}\left\{{\frac {v_{k}}{h_{k}h_{j}}}\left(v_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{k}}}-v_{k}{\frac {\partial h_{k}}{\partial q^{j}}}\right)\right\}$

は曲線直交座標系で現れる見かけの力に対応する。

実際、 $L={\frac {m}{2}}\sum _{k}(h_{k}{\dot {q}}^{k})^{2}$ に対して $({\mathrm {d} /\mathrm {d} t})({\partial L/\partial {\dot {q}}^{j}})-({\partial L/\partial q^{j}})=0$ を計算すると、

${\mathrm {d} v_{j} \over \mathrm {d} t}-\sum _{k}\left\{{\frac {v_{k}}{h_{k}h_{j}}}\left(v_{j}{\partial h_{j} \over \partial q^{k}}-v_{k}{\partial h_{k} \over \partial q^{j}}\right)\right\}=0$

が得られる。ただし、$v_{k}=h_{k}{\dot {q}}^{k}$ であり、 ${\dot {h}}_{k}=\sum _{i}{\partial h_{k} \over \partial q^{i}}{\dot {q}}^{i}$ を使う。