基底 (位相空間論) 基底 (位相空間論)の概要

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基底 (位相空間論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/06 08:38 UTC 版)

定義

$(X,{\mathcal {O}})$を位相空間とする。 ${\mathcal {B}}\subset {\mathcal {O}}$が${\mathcal {O}}$の開基である$\Leftrightarrow {\mathrm {def.} }\forall U\in {\mathcal {O}},\exists {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {B}}\,\,\mathrm {s.t.} \,\,U=\cup {\mathcal {S}}$

性質

開基の重要な性質を二つ挙げる：

1. 開基の元は、全体空間 X を被覆する。
2. B₁, B₂ が開基の元で、それらの交わりを I とすると、I の各点 x に対し、開基の元 B₃ で x を含み I に含まれるものが取れる。

X の部分集合族 B が上記の条件のうちの何れかでも満たさないならば、B は X 上のどのような位相の開基にもならない（しかし、X のどんな部分集合族も準開基になる）。逆に、B が上記に条件のどちらも満たすならば、B を開基とする X の位相が一意的に定まり、B によって生成された位相と呼ばれる（この位相は開集合系として、B を含む X の任意の位相すべての交わりに一致する）。このようにして位相を定義する手法は広く用いられる。集合族 B が X 上の位相を生成するための十分だが必要でない条件の一つは、B が交叉に関して閉じていることである。この場合であれば、上記の性質において常に B₃ = I と取ることができる。

例えば、実数直線における開区間全体の成す族は、実数直線上のある位相の開基になる。実際、任意の二つの開区間の交わりは、それ自身開区間であるか、または空集合である。実は、この開基の生成する位相は実数直線における通常の位相である。

しかし、一つの位相に関してその開基は一意的には決まらない。複数の開基が（たとえ大きさが異なるものであっても）、同じ位相を生成し得るのである。例えば、端点が有理数であるような開区間の全体も、端点が無理数であるような開区間の全体も、ともにやはり実数直線の通常の位相を生成するが、これら二つの集合族はまったく交わりを持たず、またともに開区間全体の成す開基に含まれる。線型代数学におけるベクトル空間の基底の場合とは対照的に、開基は極大であることを要しない（実際、ただ一つ存在する極大開基は、開集合系としての位相自身に一致してしまう）。実は、開基 B の生成する位相を備えた空間 X において、任意の開集合を開基 B にさらに追加しても、生成される位相には何らの変化も生じないのである。開基が取り得る最小の濃度を、その位相空間の荷重または重み (weight) と呼ぶ。

開基とならないような開集合族の例としては、a を実数として (−∞, a) および (a, ∞) なる形に書ける半無限区間全体の成す集合 S が挙げられる。この S は実数直線 R 上のどんな位相の開基にもならない。これを示すために、仮にそのような位相が存在したとして、例えば (−∞, 1) と (0, ∞) はともに開基 S の元ひとつからなる合併、従って S の生成する位相に関する開集合であり、それらの交わり (0,1) もまたそうであるはずだが、一方 (0, 1) が S の元の合併として書くことができないことは明らかである。先に挙げた開基の特徴付けを使って言えば二つ目の性質が成り立たない、これは交わり (0,1) の内部に「嵌る」ような開基の元が無いということである。

位相の開基が与えられたとき、列または有向点族の収斂性を示すには、開基の元で想定される極限を含むようなもの全てについて、その列または有向点族が殆ど含まれる (eventually in) ことを示せば十分である。