モノイド環 添加

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モノイド環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:26 UTC 版)

添加

添加 (augmentation) とは次で定義される環準同型 η: R[G] → R である：

$\eta (\sum _{g\in G}r_{g}g)=\sum _{g\in G}r_{g}.$

η の核は添加イデアル (augmentation ideal) と呼ばれる。これは自由 R 加群で、すべての 1 ≠ g ∈ G に対する 1 − g からなる基底を持つ。

一般化

• G が半群であれば、同じ構成により半群環 (semigroup ring) R[G] が生じる。モノイド環は必ず単位的となるが、半群環は（半群に単位元の存在が必ずしも言えないから）そうでない。

A は環、G は全順序群、すなわち α < β かつ γ < δ ならば αγ < βδ を満たす群とするとき、

S(G,A) := {f: G → A | supp(f) が整列集合}

と置けば、S(G,A) は畳み込み積を乗法、成分ごとの和を加法として環を成す。A が体のとき S(G,A) は可除環になる。例えば G = Z を整数の通常の大小関係を順序とする全順序群とすれば、得られる環 S(Z,A) は A-係数形式ローラン級数環である。