ヒッチン汎函数 ヒッチン汎函数の概要

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ヒッチン汎函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/21 01:40 UTC 版)

ヒッチンの導入した一般化された複素構造は、有用に数理物理へ応用される。そのときに中心となる考え方が、ヒッチン汎函数である。

定義

6次元多様体に対しての定義は、以下の通りである。ヒッチンの論文の定義はより抽象的で、より一般的である。

$M$ を自明な標準バンドルを持つコンパクトな向き付けられたな 6次元多様体とすると、ヒッチン汎函数 は、次の式の 3-形式上の汎函数と定義する。

$\Phi (\Omega )=\int _{M}\Omega \wedge *\Omega \ .$

ここに $\Omega$ は 3-形式であり、 * はホッジスター作用素を表す。

性質

• ヒッチン汎函数は、4次元多様体のヤン・ミルズ汎函数の 6次元での類似物である。

• ヒッチン汎函数は、明らかに向きを保つ微分同相写像群の作用の下に不変である。

• 定理. $M$ を3次元の複素多様体 で、$\Omega$ をゼロにならない正則な 3-形式の実部としよう。すると、 $\Omega$ はコホモロジー類 $[\Omega ]\in H^{3}(M,R)$ へ限定した $\Phi$ の臨界点となる。逆に $\Omega$ が与えられたコホモロジー類の中の汎函数 $\Phi$ の臨界点で、$\Omega \wedge *\Omega <0$　とすると、$\Omega$ は複素多様体の構造を定義し、$\Omega$ は $M$ の上のゼロにならない正則 3-形式の実部となる。

この定理の証明は、ヒッチンの論文 Hitchin (2000) とHitchin (2001) の中に比較的ストレートに書かれている。この定理の素晴らしいところは、逆のステートメントが成り立つことである：もし完全形式 $\Phi (\Omega )$ が決定していると、可能な複素構造の見つける臨界点を探すことで、複素構造を決定する 0 にならない正則 3-形式が一意に決まることである。

安定な（微分）形式

作用汎函数は、しばしば $M$ の上の幾何学構造を決定し、幾何学構造はある可積分条件に従う $M$ 上の特別な微分形式の存在によって特徴付けられる。

もし m-形式 $\omega$ が局所座標で記述されるとし、

$\omega =dp_{1}\wedge dq_{1}+\cdots +dp_{m}\wedge dq_{m}$

さらに

$d\omega =0$

とすると、$\omega$ はシンプレクティック構造を決定する。

p-形式 $\omega \in \Omega ^{p}(M,\mathbb {R} )$ が安定とは、n = dim(M) としたとき、この微分形式が局所 $GL(n,\mathbb {R} )$ 作用の開軌道の中にある場合、つまり、小さな摂動 $\omega \mapsto \omega +\delta \omega$ は、局所 $GL(n,\mathbb {R} )$ 作用により元に戻せる場合を言う。従って、任意の 1-形式は、（定数なので）どこでもゼロにならないので安定で、2-形式 (もしくは p が偶数のときの p-形式) の安定性とは、非退化と同値である。

では、p = 3 の場合にはどうなるのか。 大きな n に対しては、3-形式は難しくなる。理由は、$\wedge ^{3}(\mathbb {R} ^{n})$, $n^{3}$, の次元の増加の仕方が、$GL(n,\mathbb {R} )$, $n^{2}$ の次元の増加のしかたよりも早いからである。しかし、非常にまれな例外がある。つまり $n=6$ の場合で、その場合は dim $\wedge ^{3}(\mathbb {R} ^{6})=20$ であり、dim $GL(6,\mathbb {R} )=36$ である。次元 6 での安定な実 3-形式を $\rho$ とすると、$\rho$ の $GL(6,\mathbb {R} )$ の下でのスタビライザーは次元 36 - 20 = 16 であり、実際に、 $SL(3,\mathbb {R} )\times SL(3,\mathbb {R} )$ もしくは $SL(3,\mathbb {C} )\cap SL(3,\mathbb {C} )$ のいずれかになる。

$SL(3,\mathbb {C} )\cap SL(3,\mathbb {C} )$ の場合に焦点を絞り、$\rho$ が$SL(3,\mathbb {C} )\cap SL(3,\mathbb {C} )$ 内にスタビライザーを持つとすると、局所座標では次のように書くことができる：

$\rho ={\frac {1}{2}}(\zeta _{1}\wedge \zeta _{2}\wedge \zeta _{3}+{\bar {\zeta _{1}}}\wedge {\bar {\zeta _{2}}}\wedge {\bar {\zeta _{3}}})$

ここに、$\zeta _{1}=e_{1}+ie_{2},\zeta _{2}=e_{3}+ie_{4},\zeta _{3}=e_{5}+ie_{6}$ であり、$e_{i}$ は $T^{*}M$ の基底である。従って、$\zeta _{i}$ は $M$ 上の概複素構造を決定する。さらに局所座標 $(z_{1},z_{2},z_{3})$ が存在して $\zeta _{i}=dz_{i}$ と満たすとすると、$\zeta _{i}$ は、さいわいにも $M$ 上の複素構造を決定する。

安定な形式 $\rho \in \Omega ^{3}(M,\mathbb {R} )$が与えられると：

$\rho ={\frac {1}{2}}(\zeta _{1}\wedge \zeta _{2}\wedge \zeta _{3}+{\bar {\zeta _{1}}}\wedge {\bar {\zeta _{2}}}\wedge {\bar {\zeta _{3}}})$

と取ることができ、もうひとつ別な実 3-形式

${\tilde {\rho }}(\rho )={\frac {1}{2}}(\zeta _{1}\wedge \zeta _{2}\wedge \zeta _{3}-{\bar {\zeta _{1}}}\wedge {\bar {\zeta _{2}}}\wedge {\bar {\zeta _{3}}})$

を取ることができる。

そうすると $\Omega =\rho +i{\tilde {\rho }}(\rho )$ は $\rho$ により決定される概複素構造の中の正則な 3-形式となる。さらに、複素構造となるためには、ちょうど $d\Omega =0$、すなわち、$d\rho =0$ であり、かつ、$d{\tilde {\rho }}(\rho )=0$ の場合である. この $\Omega$ はヒッチン汎函数の定義での 3-形式 $\Omega$ に一致する。これらの考えは、一般化された複素構造を導くこととなった。