グリーンの恒等式 多様体上での恒等式

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グリーンの恒等式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 08:19 UTC 版)

多様体上での恒等式

グリーンの恒等式はリーマン多様体上で成立する。この場合、初めの二つの恒等式は次のようになる。

${\begin{aligned}\int _{M}u\Delta v\,dV+\int _{M}\langle \operatorname {grad} \ u,\operatorname {grad} \ v\rangle \,dV&=\int _{\partial M}uNvd{\widetilde {V}}\\\int _{M}\left(u\Delta v-v\Delta u\right)\,dV&=\int _{\partial M}(uNv-vNu)d{\widetilde {V}}.\end{aligned}}$

ここで u と v は M 上の滑らかな実数値函数、dV は計量と両立する体積形式、$d{\widetilde {V}}$ は M の境界上で誘起された体積形式、N は境界上での向き付けられた単位法ベクトル場、∇²u = div(grad u) はラプラシアンである。