原始ピタゴラス数とは？わかりやすく解説

原始ピタゴラス数（げんしピタゴラスすう、英: primitive Pythagorean triples）とは、ピタゴラス数のうち3つの数が互いに素であるものをいう。つまり、自然数の3つ組 $(a, b, c)$ であって、

$a 2 + b 2 = c 2$ （ピタゴラス数の条件）
$gcd (a, b, c) = 1$ （原始性の条件）

をともに満たすもののことである。

概要

3個の自然数の組 $(a, b, c)$ がピタゴラス数であることは、その最大公約数を $g$ として $(a, b, c) =: (ga 0, gb 0, gc 0)$ と表すと、 $(a 0, b 0, c 0)$ がピタゴラス数であることと同値である。ゆえに、ピタゴラス数には $(a 0, b 0, c 0)$ のみに着目し、これは原始ピタゴラス数と呼ばれている。

ピタゴラス数が原始的（あるいは素 (coprime) とも言う）であることと、3個の自然数のうちある2個が互いに素であることは同値である（一般に、ピタゴラス数 $(a, b, c)$ について $gcd(a, b, c) = gcd(a, b) = gcd(b, c) = gcd(a, c)$ が成り立つ）。

原始ピタゴラス数には重複なく生成する式、そしてそれを効率良く列挙するアルゴリズムが知られており、そのアルゴリズムによって原始ピタゴラス数全体を三分木で表すことができる。

「:en:Tree of primitive Pythagorean triples」も参照

リスト（三分木を含まない）

原始ピタゴラス数 $(a, b, c)$ の3数の表示順は、 $c$ を斜辺とするのが一般的であるが、その上で、

$a < b (< c)$ とするもの

$a, b$ は偶奇が異なる（#生成式参照）ので、

$b$ を偶数辺とするもの
$a$ を偶数辺とするもの

がある。

ユークリッドの式では $b$ を偶数辺、ブラフマグプタの式では $a$ を偶数辺としていることが多い。

ここでは $a < b < c$ とし、 $c$ の小さい順に並べると、 $c < 300$ までは以下の47通りである：

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

このうち、第1項が偶数であるものは22個である。

斜辺、最小辺、中間長それぞれの昇順列はオンライン整数列大辞典の数列 A020882、オンライン整数列大辞典の数列 A046086、オンライン整数列大辞典の数列 A046087を参照。
周長が昇順となる原始ピタゴラス数の列はオンライン整数列大辞典の数列 A103606を参照。

生成式

原始ピタゴラス数 $(a, b, c)$ の生成式は、ユークリッドの式とブラフマグプタの式が知られている。ただし $a, b$ の順番は流儀によりまちまちである。

ユークリッドの式^[1]またはピタゴラスの公式^[2]とは、

(a, b, c) = (m 2 - n 2, 2 mn, m 2 + n 2)

または

(2 mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2)

の形のことである。ここで、 $m, n$ は自然数で

$m, n$ は互いに素
$m > n$
$m$ と $n$ の偶奇は異なる（一方が奇数で他方が偶数）

を満たす。

これに対してブラフマグプタの式とは、

(a, b, c) = (p 2 - q 2 / 2, pq, p 2 + q 2 / 2)

または

(pq, p 2 - q 2 / 2, p 2 + q 2 / 2)

の形のことである。ここで、 $p, q$ は自然数で

$p, q$ は互いに素
$p > q$
$p, q$ は奇数

を満たす。

ユークリッド式とブラフマグプタ式には $(p, q) = (m + n, m - n)$ の関係があり、本質的には同じである。ただし、周長は、ユークリッド式では $2 m (m + n)$ 、ブラフマグプタ式では $p (p + q)$ となり、ブラフマグプタ式の方が式が簡単になることがある。

『数学ガール』（結城浩著）では、ユークリッドの式は「ピタゴラ・ジュース・メーカー」とネーミングされて取り上げられている^[3]。

生成式の導出

ユークリッドの式は、以下のようにして導出できる。

3段構成で証明される。

$a$ と $b$ は偶奇が異なる
$a$ が偶数とすると、 $c + b / 2, c - b / 2$ は平方数
$(a, b, c) = (m 2 - n 2, 2 mn, m 2 + n 2)$ または $(2 mn, m 2 - n 2, m 2 + n 2)$

1. $(a, b, c)$ は原始的であるから、 $a$ と $b$ の少なくとも1つは奇数である。

$a$ も $b$ も奇数であると仮定すると、

a^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+4k+1\equiv 1{\pmod {4}}

[1]

[2]

[3]

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